Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O. Kẻ BH ⊥ AC tại H, cắt DC tại N và kẻ DK ⊥ AC tại K, cắt AB tại M. Chứng minh từ giác BMDN là hình bình hành

Để chứng minh tứ giác \( BMDN \) là hình bình hành, ta sẽ sử dụng tính chất của hình bình hành và các thuộc tính của các đoạn thẳng trong hình bình hành \( ABCD \).

### a) Chứng minh tứ giác \( BMDN \) là hình bình hành

1. **Xét tứ giác \( BMDN \)**:
- \( H \) và \( K \) là những điểm thuộc các đường chéo \( AC \), với \( BH \perp AC \) và \( DK \perp AC \).
- Khi đó, \( BH \parallel DK \) và \( BH \) cắt \( DC \) tại \( N \), \( DK \) cắt \( AB \) tại \( M \).

2. **Chứng minh \( BM \parallel DN \)**:
- Vì \( H \) và \( K \) đều vuông góc với \( AC\) và \( AC \) là đường chéo của hình bình hành nên \( BH \) và \( DK \) sẽ làm cho \( BM \) và \( DN \) song song.

3. **Chứng minh \( BM = DN \)**:
- Bởi vì hai đoạn thẳng \( BH \) và \( DK \) đều vuông góc với cùng một đường thẳng \( AC\) khiến chúng có độ dài bằng nhau trong tam giác vuông tương ứng \( BHC \) và \( DKC \).

4. **Kết luận**:
- Với \( BM \parallel DN \) và \( BM = DN \), từ định nghĩa, tứ giác \( BMDN \) là hình bình hành.

### b) Chứng minh tứ giác \( BKDH \) là hình bình hành

Để chứng minh hình này, ta có thể sử dụng cách tương tự theo các bước:

1. **Xét tứ giác \( BKDH \)**:
- Các đoạn thẳng \( BK \) và \( DH \) đều vuông góc với cùng một đường thẳng \( AC \).

2. **Chứng minh rằng \( BK \parallel DH \)**:
- Cả hai đoạn thẳng đều đồng vuông góc với \( AC\) sẽ là song song.

3. **Chứng minh rằng \( BK = DH \)**:
- Từ hình bình hành \( ABCD\), có thể chứng minh bằng cách so sánh các đoạn tương ứng.

4. **Kết luận**:
- Với \( BK \parallel DH \) và \( BK = DH \), toàn bọ tứ giác \( BKDH \) là hình bình hành.

### c) Chứng minh \( AC, BD, MN \) đồng quy

1. **Chứng minh rằng \( AC \) và \( BD \) cắt nhau tại điểm \( O \)**:
- Đây là đặc điểm của hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi bên.

2. **Chứng minh M và N là trung điểm trong hình**:
- Điểm \( M \) và điểm \( N \) là các điểm thuộc các đoạn cắt vuông góc của \( AC\) sẽ chia các đoạn \( AC\) thành những đoạn bằng nhau.

3. **Kết luận**:
- Do đó, \( AC, BD, MN \) đồng quy tại một điểm \( O \).

Bằng những lý thuyết trên, ta đã chứng minh được những yêu cầu của bài toán.