Để giải phương trình:

\[
\frac{6}{x^3+1} - \frac{1-x}{x^2-x+1} = \frac{5}{x+1},
\]

ta sẽ chuyển đổi các biểu thức về cùng một cơ số.

**Bước 1: Rút gọn các biểu thức.**

Ta biết rằng:

- \( x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1) \)

Vậy:

\[
\frac{6}{x^3+1} = \frac{6}{(x+1)(x^2-x+1)}
\]

**Bước 2: Thay vào phương trình.**

Thay vào phương trình, ta có:

\[
\frac{6}{(x+1)(x^2-x+1)} - \frac{1-x}{x^2-x+1} = \frac{5}{x+1}
\]

**Bước 3: Tìm mẫu số chung.**

Mẫu số chung là \( (x+1)(x^2-x+1) \). Ta có:

\[
\frac{6 - (1-x)(x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{5(x^2-x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)}
\]

**Bước 4: Nhân chéo.**

Bỏ mẫu số đi (vì không bằng 0), ta được:

\[
6 - (1-x)(x+1) = 5(x^2-x+1)
\]

**Bước 5: Mở rộng và sắp xếp.**

Mở rộng các vế:

\[
6 - (1-x)(x+1) = 6 - (x + 1 - x^2 - x) = 6 - (1 - x^2) = 6 + x^2 - 1
\]

Và:

\[
5(x^2-x+1) = 5x^2 - 5x + 5
\]

Bây giờ, ta có:

\[
x^2 + 5 = 5x^2 - 5x + 5
\]

**Bước 6: Đưa về dạng phương trình bậc 2.**

Chuyển tất cả các hạng tử về một phía:

\[
0 = 4x^2 - 5x + 0
\]

Phương trình trở thành:

\[
4x^2 - 5x = 0
\]

**Bước 7: Giải phương trình bậc 2.**

Ta có thể đưa ra nhân tử:

\[
x(4x - 5) = 0
\]

Thỏa mãn:

\[
x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 4x - 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{4}
\]

**Bước 8: Kiểm tra.**

Ta cần kiểm tra các giá trị này có làm mẫu số trong phương trình gốc bằng 0 không.

- Với \( x = 0 \), mẫu số không bằng 0.
- Với \( x = \frac{5}{4} \), mẫu số cũng không bằng 0.

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[
x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{5}{4}.
\]