Để chứng minh rằng \(1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}\), ta sẽ sử dụng các định nghĩa của các hàm lượng giác cơ bản.

1. **Định nghĩa cotang**:
\[
\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
\]

2. **Bình phương cotang**:
\[
\cot^2 \alpha = \left(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right)^2 = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}
\]

3. **Thay vào biểu thức cần chứng minh**:
\[
1 + \cot^2 \alpha = 1 + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}
\]

4. **Chuyển đổi 1 về cùng mẫu**:
\[
1 = \frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}
\]
Vậy ta có:
\[
1 + \cot^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}
\]

5. **Sử dụng định lý Pythagore**:
Theo định lý Pythagore, ta có:
\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
\]
Thay vào biểu thức:
\[
\frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{1}{\sin^2 \alpha}
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng:
\[
1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}
\]
Kết quả đã được chứng minh.