Chứng minh giá trị biểu thức sau luôn nhận giá trị âm với x < 1: D = (x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)

Để chứng minh cho giá trị biểu thức \( D = (x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1) \) luôn nhận giá trị âm với điều kiện \( x < 1 \), chúng ta sẽ phân tích từng phần của \( D \) theo các yếu tố của nó.

1. **Phân tích từng yếu tố**:
- **\( (x - 1) \)**: Vì \( x < 1 \), nên \( x - 1 < 0 \). Do đó, \( (x - 1) \) là âm.
- **\( (x + 1) \)**: Với \( x < 1 \), \( x + 1 > 0 \) (vì \( x \) lớn hơn -1). Do đó, \( (x + 1) \) là dương.
- **\( (x^2 + 1) \)**: Với mọi giá trị thực \( x \), \( x^2 + 1 > 0 \). Do đó, \( (x^2 + 1) \) là dương.
- **\( (x^4 + 1) \)**: Tương tự như trên, với mọi giá trị thực \( x \), \( x^4 + 1 > 0 \). Do đó, \( (x^4 + 1) \) là dương.
- **\( (x^8 + 1) \)**: Có cùng phân tích như trên, vì vậy \( (x^8 + 1) > 0 \). Do đó, \( (x^8 + 1) \) là dương.

2. **Kết luận về dấu của \( D \)**:
- Từ phân tích trên, ta có:
\[
D = (x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)
\]
- \( (x - 1) < 0 \) (âm) và tất cả các yếu tố còn lại \( (x + 1) > 0 \), \( (x^2 + 1) > 0 \), \( (x^4 + 1) > 0 \), \( (x^8 + 1) > 0 \) (đều dương).

Vậy nên, biểu thức \( D \) có dạng:
\[
D < 0 \quad \text{(âm)} \quad \text{vì chỉ có một yếu tố âm)}
\]

Do đó, ta đã chứng minh rằng giá trị của biểu thức \( D \) luôn nhận giá trị âm khi \( x < 1 \).

**Kết luận**: \( D < 0 \) với \( x < 1 \).