Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh tam giác AMC là tam giác cân

Trong tam giác vuông tại A, AM là đường trung tuyến. Ta biết rằng, trong tam giác vuông, nếu AM là đường trung tuyến thì ta có:

- AM = MC (Bởi vì M là trung điểm của cạnh BC).

Vì Vậy, tam giác AMC có hai cạnh (AM và MC) bằng nhau, do đó tam giác AMC là tam giác cân.

### b) Chứng minh ABDC là hình chữ nhật

Ta đã có A, B, C, D với:

- A là đỉnh chóp của tam giác vuông.
- D nằm trên tia đối của tia MA (tức là DA = MA).

Vì AM là trung tuyến, nên:

1. Đường thẳng AB vuông góc với BC (tính chất của tam giác vuông).
2. Do DA = MA (D nằm đối diện với M), thì MA và DA cũng bằng nhau.

Do đó, ta có:

- AD // BC (hai đường thẳng này đều vuông góc với AB).
- AB = DC (cả hai đoạn này đều bằng đoạn AM).

Vì vậy, tứ giác ABDC có các cạnh đối chúng bằng nhau và song song, do đó ABDC là hình chữ nhật.

### c) Chứng minh BEDC là hình bình hành

Theo giả thiết, B là trung điểm của AE. Điều này đồng nghĩa với việc:

- BE = BA và DE = DC = AB (cùng chiều dài do B là trung điểm).

Do đó, ta có sao cho BE // DC và BE = DC, và BD // AE, BD = AE. Như vậy, tứ giác BEDC là hình bình hành vì nó có các cạnh đối song song và bằng nhau.

### d) Chứng minh EK = 2KM

Ta có EM cắt BD tại K. Chúng ta giả thiết EK = 2KM, tức là đoạn EK gấp đôi đoạn KM.

Để chứng minh, ta sử dụng tính chất của hình bình hành BEDC và chiều dài các đoạn.

Như B là trung điểm AE, nghĩa là:

- AE = 2BE và BE = EK (do K nằm giữa E và M).

Điều này chứng minh rằng EK = 2KM (K chia đoạn EM thành 2 phần ăn khớp với tỷ lệ 2:1).

Tóm lại, ta đã hoàn thành các yêu cầu của bài toán:

- **a)** AMC là tam giác cân.
- **b)** ABDC là hình chữ nhật.
- **c)** BEDC là hình bình hành.
- **d)** EK = 2KM.

Hy vọng các bước và lập luận trên sẽ giúp bạn dễ dàng hiểu và áp dụng.