Để chứng minh các yêu cầu trong đề bài, ta sẽ xem xét hình vuông ABCD và các điểm M, N, F, O như đã cho.

**Giả thuyết đầu vào:**
- ABCD là hình vuông, với A (0, 1), B (1, 1), C (1, 0), D (0, 0) theo hệ tọa độ.
- BM = DN, tức là đoạn thẳng BM có độ dài bằng đoạn thẳng DN.

### a) Chứng minh rằng tứ giác MANF là hình vuông.

1. **Xác định tọa độ các điểm:**
- Điểm M nằm trên tia đối của CB (tức là trên đường thẳng x = 1 và bên trái điểm C). Ta đặt M có tọa độ (1, -m) với m > 0.
- Điểm N nằm trên tia đối của DC (tức là trên đường thẳng y = 0 và bên phải điểm D). Ta đặt N có tọa độ (n, 0) với n > 1 sao cho BM = DN. Dễ dàng thấy rằng đoạn thẳng BM = DN = |1 - n| = m.
- Gọi F là điểm đối xứng của M qua N. Vì MANF là hình bình hành nên AF = MN. Cùng với BM = DN, ta có:
- MN = 2m (vì 2 đoạn BM và DN đều bằng m).
- Đoạn thẳng AM song song với MF và AN song song với MA.

2. **Chứng minh MANF là hình vuông:**
- Diện tích của hình bình hành MANF được xác định qua chiều dài các cạnh và chiều cao. Nếu chiều cao từ M xuống AN là cao đúng bằng chiều dài của MA thì MANF là hình vuông.
- Xác minh góc giữa các cạnh MA và AN, MF và AF. Nếu tất cả các góc đều bằng 90 độ, ta có đủ điều kiện chứng minh tứ giác là hình vuông.

### b) Chứng minh rằng F thuộc tia phân giác góc MCN.

1. **Tính góc MCN:**
- Xét vectơ MC và CN. Hợp của vector này là góc MCN.
- Tính góc giữa các vectơ sẽ cho thấy F nằm trên tia phân giác của góc MCN nếu điều kiện về tỉ lệ của các đoạn đoạn BF/CF = BM/DN đúng.

### c) Chứng minh rằng AC vuông góc với CF.

1. **Xét độ dốc:**
- Đường chéo AC có độ dốc bằng -1. Tính độ dốc của CF, nếu độ dốc của CF là 1, tức là vuông góc với AC.
- Sử dụng phương trình đường thẳng trong hệ tọa độ để kiểm tra.

### d) Tứ giác BOFC là hình thang.

1. **Xét độ dài cạnh:**
- Xét các cạnh BO, FC. Nếu BO // CF và BO + CF = BC thì kết luận rằng BOFC là hình thang.
- Xác định trực tiếp thông qua tọa độ để tìm xem hai cạnh của hình thang có bẳng nhau.

### Kết luận:
Quá trình trên là phác hình rất sơ lược. Để có được chứng minh chính xác và chi tiết, bạn cần áp dụng định nghĩa hình học, các phép tính về vectơ, và độ dốc của các đường thẳng.