Để chứng tỏ rằng \( A = 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + \ldots + 3 \cdot 2023 + 3 \cdot 2024 \) chia hết cho 4, ta có thể biến đổi biểu thức \( A \) như sau:

Ta có thể factor ra số 3 từ tất cả các thành phần trong tổng:

\[
A = 3 \cdot (1 + 2 + 3 + \ldots + 2023 + 2024)
\]

Bây giờ, chúng ta cần tính tổng \( 1 + 2 + 3 + \ldots + 2024 \). Tổng này là một chuỗi số liên tiếp, và tổng của nó có công thức:

\[
\text{Tổng} = \frac{n(n+1)}{2}
\]

Trong trường hợp này, \( n = 2024 \):

\[
\text{Tổng} = \frac{2024 \cdot 2025}{2}
\]

Bây giờ, ta tính giá trị này:

\[
2024 \cdot 2025 = 2024 \cdot (2000 + 25) = 2024 \cdot 2000 + 2024 \cdot 25
\]

Giá trị \( 2024 \cdot 2000 \) được tính như sau:

\[
2024 \cdot 2000 = 4048000
\]

Giá trị \( 2024 \cdot 25 \):

\[
2024 \cdot 25 = 50600
\]

Vì vậy,

\[
2024 \cdot 2025 = 4048000 + 50600 = 4098600
\]

Bây giờ, đưa vào công thức tổng:

\[
\text{Tổng} = \frac{4098600}{2} = 2049300
\]

Vậy \( A \) giờ trở thành:

\[
A = 3 \cdot 2049300 = 6147900
\]

Cuối cùng, chúng ta chỉ cần xem xét phần chia của \( 6147900 \) cho 4:

\[
6147900 \div 4 = 1536975
\]

Vậy \( 6147900 \) là một số nguyên. Từ đó, \( A \) chia hết cho 4.

Do đó, ta đã chứng minh được rằng \( A = 3 \cdot (1 + 2 + \ldots + 2024) \) chia hết cho 4.