Cho hình ABCD, E; F là trung điểm của AD và BC

Bài này yêu cầu chứng minh một số tính chất của hình chữ nhật ABCD với các điểm trung điểm E và F. Dưới đây là hướng dẫn cho từng mục:

### a) Chứng minh \(AP = PQ = QC\)

1. **Giả thiết:** E và F là trung điểm của AD và BC.
2. **Tính chất của trung điểm:** Ta có \(AE = ED\) và \(BF = FC\).
3. **Tạo tam giác:** Xét tam giác ABE và CDF. Khi cắt nhau tại điểm P, áp dụng định lý thống nhất, ta có:
- \(AP + PQ + QC = AB\)
- Do E và F là trung điểm, ta có \(AP = PQ = QC\).

### b) Chứng minh \(ARQE\) là hình chữ nhật

1. **Giả thiết:** Các điểm A, R, Q, E.
2. **Tính chất hình chữ nhật:** Để \(ARQE\) là hình chữ nhật, ta cần:
- Cạnh AR = cạnh QE
- Góc giữa AR và AQ là góc vuông.
3. **Chứng minh:**
- Vì E là trung điểm, \(AE = ED\) và \(BF = FC\) nên: các cạnh AR và QE bằng nhau.
- Do đường chéo AC cắt tại P cho biết góc giữa hai đoạn thẳng AR và AQ vuông.

Tóm lại, để hoàn thiện bài toán, bạn có thể vẽ hình trang để trực quan hóa các điểm và đoạn thẳng. Kết hợp chứng minh hình học, bạn có thể xác minh các mệnh đề đã đưa ra.