Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Chứng minh: Tam giác ABC và tam giác HBA đồng dạng. Tia phân giác của góc ABC cắt AH tại điểm D và cắt AC tại điểm E

Để chứng minh tam giác \( ABC \) và tam giác \( HBA \) đồng dạng, chúng ta thực hiện như sau:

### a) Chứng minh \( \triangle ABC \sim \triangle HBA \)

1. **Xét các góc:**
- Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) nên \( \angle ABC = 90^\circ \).
- Tam giác \( HBA \) cũng vuông tại \( H \) (bởi \( AH \) là đường cao từ \( A \) đến cạnh \( BC \)).
- Do đó, \( \angle HBA = 90^\circ \).

2. **Góc chung:**
- \( \angle AHB \) là góc chung của cả hai tam giác.

3. **Áp dụng định lý góc:**
Ta có:
\[
\angle ABC + \angle HBA = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ
\]
Do đó:
\[
\triangle ABC \sim \triangle HBA \quad (\text{theo tiêu chí góc-góc})
\]

### b) Tia phân giác của góc \( ABC \)

1. **Tia phân giác \( BE \)** cắt \( AC \) tại điểm \( E \):
Khi phân giác chia góc \( \angle ABC \), theo định lý phân giác ta có:
\[
\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC}
\]

2. **Chứng minh \( \triangle AEB \sim \triangle HBD \)**
- \( AE \) và \( HD \) là hai đoạn thẳng vuông góc với nhau.
- Các góc \( AEB \) và \( HBD \) cũng là góc chung.

Do đó, chúng ta có:
\[
\triangle AEB \sim \triangle HBD \quad (\text{theo tiêu chí góc-góc})
\]
Khi đó suy ra:
\[
\frac{AB}{BE} = \frac{AH}{HB} \implies AEB = BEHD
\]

### c) Chứng minh tia \( BE \) là tia phân giác của góc \( MBN \)

1. **Đặt \( M \)** là trung điểm của đoạn \( AE \) và \( N \) là trung điểm của đoạn \( DH \).
2. Theo định nghĩa về trung điểm thì:
\[
AM = ME \quad \text{và} \quad DN = NH
\]

3. Từ đó ta có:
\[
AB = AE = BE \quad (\text{theo tỉ lệ AB và AH})
\]

Vậy ta có \( BE \) là tia phân giác của góc \( MBN \).

Tóm lại, các kết luận trên cho thấy sự đồng dạng và tính chất phân giác trong tam giác \( ABC \) và \( HBA \).