Cho tam giác ABC có A = 90∘, AB = AC. Qua A vẽ đường thẳng d cắt đường thẳng BC tại điểm M sao cho hai điểm B, C nằm cùng phía đối với M. Vẽ hai đoạn thẳng BD và CE vuông góc với d (D, E ∈ d). Chứng minh rằng BD = AE, AD = CE

Để chứng minh rằng \( BD = AE \) và \( AD = CE \) trong tam giác \( ABC \) với các điều kiện đã cho, ta sẽ thực hiện các bước chứng minh như sau:

### Hình vẽ
Trước hết, hãy vẽ tam giác \( ABC \) với \( \angle A = 90^\circ \) và \( AB = AC \). Đặt điểm \( A \) nằm tại gốc tọa độ \( O \), điểm \( B \) trên trục hoành (- trục x) và điểm \( C \) trên trục tung (- trục y).

### Kí hiệu
- Cho \( B = (-b, 0) \), \( C = (0, b) \).
- Điểm \( A = (0, 0) \).
- Gọi \( M \) là điểm trên đường thẳng \( BC \) sao cho \( M \) nằm giữa \( B \) và \( C \).

### Hệ tọa độ
Điểm \( M \) có tọa độ \( (x_M, y_M) \) thuộc đường thẳng \( BC \). Phương trình đường thẳng \( BC \) là:
\[
y = -\frac{b}{b} (x + b) + b \Rightarrow y = -x - b + b = -x
\]

### Các điểm \( D \) và \( E \)
- Điểm \( D \) là hình chiếu của \( B \) lên đường thẳng \( d \) và \( E \) là hình chiếu của \( C \) lên đường thẳng \( d \).

### Tính cường độ
1. **BD và AE**:
- Vì \( A \) là điểm vuông góc từ \( D \) đến \( B \) và từ \( E \) đến \( A \), nên \( AD \perp BD \) và \( AE \perp CE \), điều này cho thấy rằng \( \triangle ABD \sim \triangle AEC \) (có 2 góc bằng).

- Do đó, theo định lý của tam giác vuông, ta có:
\[
\frac{BD}{AB} = \frac{AE}{AC}
\]

Vì \( AB = AC \) nên suy ra \( BD = AE \).

2. **AD và CE**:
- Với tam giác vuông \( ADB \) và \( AEC \), ta cũng có thể áp dụng định lý Pythagore:
\[
AD = AB \sin(\angle ADB)
\]
\[
CE = AC \sin(\angle AEC)
\]

- Vì \( \angle ADB = \angle AEC \), ta có \( AD = CE \).

### Kết luận
Như vậy, ta đã chứng minh được rằng:
\[
BD = AE \quad \text{và} \quad AD = CE
\]

Điều này phù hợp với yêu cầu của đề bài.