Xét một diểm E trên cạnh huyền của tam giác ABC vuông cân tại B. Gọi F và H lần lượt là hình chiếu vuông góc của E trên cạnh AB và BC

Để giải bài toán, ta sẽ xem xét các thành phần trong câu hỏi.

### a)
Xét tam giác vuông cân ABC với B là đỉnh vuông, A và C là hai đỉnh còn lại. Khi E nằm trên cạnh huyền AC, các hình chiếu F và H của E trên các cạnh AB và BC sẽ tạo thành hình EFBH.

**Hình EFBH là hình chữ nhật:**
- Vì F là hình chiếu vuông góc của E lên AB, và H là hình chiếu vuông góc của E lên BC.
- Đoạn EF vuông góc với AB và đoạn EH vuông góc với BC, do đó, các đoạn EF và EH đều vuông góc với nhau.
- Từ đó, ta có EF // BH (các cạnh đối diện trong hình chữ nhật) và EH // FB, chứng tỏ EFBH là một hình chữ nhật.

### b)
Để xác định vị trí nào của E trên cạnh huyền AC khiến độ dài FH ngắn nhất, ta cần xem xét các đoạn thẳng EF và EH.

1. **Tính chất hình chiếu:** Đoạn FH là một đoạn nối mốc từ F đến H. Để đoạn này ngắn nhất, E nên nằm ở vị trí sao cho đoạn FH có thể tiếp cận độ dài ngắn nhất giữa hai điểm F và H. Theo quy luật hình chiếu, đường thẳng nối hai điểm F và H sẽ là đường chéo của hình chữ nhật EFBH.

2. **Trung điểm:** Khi E nằm ở trung điểm của AC, tức là E điểm chính giữa của cạnh huyền, thì các hình chiếu F và H sẽ tạo thành một hình chữ nhật có chiều cao và chiều dài tương đương, từ đó dẫn tới FH là ngắn nhất.

### Kết luận:
Khi E ở vị trí trung điểm của cạnh huyền AC, thì độ dài FH sẽ là ngắn nhất vì hình chữ nhật EFBH trở nên tối ưu nhất do tính đối xứng. Thực chất, khi E di chuyển gần hơn đến trung điểm, thì độ dài đoạn FH sẽ hợp lý nhất và đạt giá trị tối thiểu.