Cho tam giác ABC có đường cao AH và BD. Đường phân giác góc HAC cắt BD, BC lần lượt tại M và P. Đường phân giác góc DBC cắt AH, AC lần lượt tại Q và N

Để chứng minh rằng hình MNPQ là hình thoi trong bài toán đã cho, ta có thể tiến hành các bước như sau:

### Bước 1: Xác định các yếu tố liên quan
- **Tam giác ABC** với các đường cao AH và BD.
- **Đường phân giác HAC** cắt BD tại M và BC tại P.
- **Đường phân giác DBC** cắt AH tại Q và AC tại N.

### Bước 2: Sử dụng tính chất của đường phân giác
1. **Đường phân giác HAC** chia góc HAC thành hai góc bằng nhau. Từ đó suy ra rằng tỉ số các đoạn thẳng trên hai cạnh AC và AB là bằng nhau:
\[
\frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC}
\]

2. **Đường phân giác DBC** cũng tương tự, chia góc DBC thành hai góc bằng nhau, suy ra:
\[
\frac{BQ}{QA} = \frac{BD}{DC}
\]

### Bước 3: Chứng minh các cạnh MN và PQ song song và bằng nhau
- Từ các tỉ số từ đường phân giác, ta có thể suy ra rằng các đoạn MP và NQ đều có tỉ lệ bằng nhau, tức là:
\[
MP \parallel NQ
\]
và
\[
MP = NQ
\]

### Bước 4: Chứng minh các cạnh MN và PQ song song và bằng nhau
- Tương tự, ta sẽ chứng minh rằng MN và PQ cũng có tính chất song song và bằng nhau thông qua việc áp dụng các định lý về tam giác.

### Bước 5: Kết luận
Khi đó, ta có bốn cạnh của hình MNPQ:
- MN // PQ và MN = PQ
- MP // NQ và MP = NQ

Như vậy, với các tính chất đã được chứng minh, ta có kết luận rằng hình MNPQ là một hình thoi.

Tóm lại, nhờ vào các tính chất của đường phân giác và tỉ số kích thước các đoạn thẳng, ta kết luận hình MNPQ là hình thoi.