Cho tam giác ABC cân tại A có \( \angle A = 36^\circ \). Đường cao AH cắt đường phân giác BD tại I. Đường phân giác \( \overset{\frown}{AB} \) cắt AC, AH lần lượt tại E và O. Gọi F là giao điểm của DO và CI

Để chứng minh rằng các tứ giác BCEF và BDAF đều là hình thoi, ta sẽ xem xét các góc và tính chất của tam giác cân ABC.

1. **Tam giác ABC cân tại A** với \( \angle A = 36^\circ \), suy ra \( \angle B = \angle C = \frac{180^\circ - \angle A}{2} = \frac{180^\circ - 36^\circ}{2} = 72^\circ \).

2. **Điểm H là chân đường cao** từ A, do đó \( AH \perp BC \).

3. **Điểm I là giao điểm của đường cao AH với đường phân giác BD**, vì vậy \( \angle AIB = \angle AIC\).

4. **Hãy chứng minh rằng AE = AO**:
- Vì BD là đường phân giác của góc A, ta có:
\[
\angle ABE = \angle ABI = \frac{1}{2} \times \angle A = 18^\circ
\]
- Từ đó, ta suy ra rằng \( \angle AEO = 90^\circ - \angle ABE = 90^\circ - 18^\circ = 72^\circ \) (vì AE là đường cao hạ từ A).

5. **Bây giờ để chứng minh tứ giác BCEF là hình thoi**:
- Ta có \( BE = EF \) vì chúng đều là các cạnh mà \( BD \) chia thành các đoạn bằng nhau do đó \( BE \parallel CF \) và \( AE = AO \).

6. **Tương tự cho tứ giác BDAF**:
- Bởi vì \( AD \) là đường phân giác và \( DA = AF \), tứ giác này cũng sẽ có các cạnh đối song song và bằng nhau.

7. **Cuối cùng là các tứ giác BCEF và BDAF** đều có tính chất nổi bật là có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau, cũng như các góc đối bằng nhau.

Vậy ta đã chứng minh rằng các tứ giác BCEF và BDAF đều là hình thoi.