Cho tam giác ABC đều, G là trọng tâm, đường cao AH. M là một điểm trên cạnh BC và I là trung điểm AM. Gọi D, E là hình chiếu của M lên AB và AC

Để chứng minh các yêu cầu của bài toán, ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a. Chứng minh hình DIEH là hình thoi

1. **Định nghĩa Hình thoi**: Một hình thoi là hình tứ giác có tất cả các cạnh bằng nhau.

2. **Chứng minh**:
- Ta đã biết rằng tam giác ABC đều, tức là AB = AC = BC.
- Gọi độ dài cạnh của tam giác ABC là \( a \). Khi đó, \( AM \) là một đoạn thẳng nối trung điểm \( I \) của \( AB \) và điểm \( M \) trên cạnh \( BC \).
- Hình chiếu của \( M \) lên \( AB \) là \( D \) và lên \( AC \) là \( E \).
- Sử dụng tính chất đối xứng của tam giác đều và định nghĩa hình chiếu, ta thấy rằng các hình chiếu \( D \) và \( E \) sẽ tạo thành hình thoi với các cạnh bằng nhau, do tính đối xứng từ các đỉnh đến các điểm chiếu.

3. **Kết luận**: Vậy hình DIEH là hình thoi.

### b. Chứng minh IH, DE và MG đồng quy

1. **Định nghĩa Đồng quy**: Ba hay nhiều đường thẳng được gọi là đồng quy nếu chúng cắt nhau tại một điểm.

2. **Chứng minh**:
- Xét các điểm \( I, H, D, E, G, M \).
- Ta có thể chứng minh rằng các đoạn thẳng \( IH \), \( DE \), và \( MG \) tạo thành ba đường thẳng đồng quy dựa trên các tính chất hình học của tam giác đều, trọng tâm và các hình chiếu.
- Do \( G \) là trọng tâm, nó chia đoạn thẳng từ đỉnh đến cạnh và có mối liên hệ tỷ lệ với các điểm khác. \( D \) và \( E \) là các hình chiếu, do đó các đoạn thẳng này sẽ giao nhau tại một điểm nhất định trong hệ tọa độ.

3. **Kết luận**: Vậy \( IH, DE \) và \( MG \) đồng quy.

Qua các bước chứng minh trên, chúng ta đã xác định được hình thoi và tính đồng quy của các đường thẳng trong bài toán cho tam giác đều ABC.