Cho số thực \( x \) thỏa mãn \( 0 < x < 3 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \( A = \frac{4}{3 - x} + \frac{100}{x} + 2024 \)

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = \frac{4}{3 - x} + \frac{100}{x} + 2024 \), ta sẽ xác định giá trị nhỏ nhất của phần \( B = \frac{4}{3 - x} + \frac{100}{x} \).

### Bước 1: Tìm đạo hàm của \( B \)

Ta tính đạo hàm của \( B \):

\[
B = \frac{4}{3 - x} + \frac{100}{x}
\]

Đạo hàm \( B' \):

\[
B' = -\frac{4}{(3 - x)^2} - \frac{100}{x^2}
\]

### Bước 2: Tìm điểm cực trị

Để tìm cực trị, giải phương trình \( B' = 0 \):

\[
-\frac{4}{(3 - x)^2} - \frac{100}{x^2} = 0
\]

### Bước 3: Đưa về dạng phương trình

\[
\frac{4}{(3 - x)^2} = -\frac{100}{x^2} \quad \text{(không hợp lệ vì cả hai vế đều âm)}
\]

Xét các giá trị biên \( x \to 0 \) và \( x \to 3 \):

- Khi \( x \to 0^+ \):
\[
B \to \infty
\]

- Khi \( x \to 3^- \):
\[
B \to \infty
\]

### Bước 4: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy

Để dễ dàng tìm giá trị nhỏ nhất, ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy:

\[
4 + 100 \geq \frac{(4 + 100)^2}{\frac{4}{3 - x} + \frac{100}{x}}
\]

Khi đó:

\[
104 \geq \frac{104^2}{B}
\]

Từ đó:

\[
B \geq \frac{104^2}{104} = 104
\]

Tiếp theo, khi \( B \geq 104 \), ta có:

\[
A \geq 104 + 2024 = 2128
\]

### Bước 5: Kiểm tra điểm đạt giá trị cực tiểu

Dễ dàng thấy khi \( x = 2 \) (là một tỉ số thích hợp):

\[
B = \frac{4}{1} + \frac{100}{2} = 4 + 50 = 54
\]

Thay vào \( A \):

\[
A = 54 + 2024 = 2078
\]

Khi đó giá trị nhỏ nhất xảy ra tại \( x = 2 \).

### Kết luận

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = \frac{4}{3 - x} + \frac{100}{x} + 2024 \) trong khoảng \( 0 < x < 3 \) là:

\[
\boxed{2078}
\]