Để tính tổng \( 3^{10} + 3^{11} + 3^{12} + \ldots + 3^{100} \), chúng ta có thể sử dụng công thức tổng của một cấp số nhân.

Cấp số nhân này có công bội là \( r = 3 \) và số hạng đầu là \( a = 3^{10} \). Tổng số hạng là từ \( n = 10 \) đến \( n = 100 \), tức là số hạng có số lượng là \( 100 - 10 + 1 = 91 \) hạng.

Công thức tổng của một cấp số nhân là:

\[
S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]

Trong đó:
- \( S_n \) là tổng của n số hạng,
- \( a \) là số hạng đầu,
- \( r \) là công bội,
- \( n \) là số hạng của tổng.

Áp dụng vào bài toán của chúng ta:

- \( a = 3^{10} \)
- \( r = 3 \)
- \( n = 91 \)

Vậy:

\[
S = 3^{10} \frac{3^{91} - 1}{3 - 1} = 3^{10} \frac{3^{91} - 1}{2}
\]

Cuối cùng, ta có:

\[
S = \frac{3^{10} (3^{91} - 1)}{2}
\]

Hoặc viết lại cho ngắn gọn:

\[
S = \frac{3^{101} - 3^{10}}{2}
\]

Vậy tổng \( 3^{10} + 3^{11} + 3^{12} + \ldots + 3^{100} \) là:

\[
\frac{3^{101} - 3^{10}}{2}
\]