Để phân tích đa thức \( x^8 + 36x^4 = 0 \), chúng ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Thay đổi biến**: Gọi \( y = x^4 \). Khi đó, \( x^8 = y^2 \). Chúng ta có thể viết lại phương trình như sau:
\[
y^2 + 36y = 0
\]

2. **Rút gọn**: Ta có thể factor biểu thức này:
\[
y(y + 36) = 0
\]

3. **Giải phương trình**: Phương trình này có hai nghiệm:
- \( y = 0 \)
- \( y + 36 = 0 \) hay \( y = -36 \)

4. **Thay đổi trở lại biến \( x \)**:
- Từ \( y = 0 \), ta có \( x^4 = 0 \) hay \( x = 0 \).
- Từ \( y = -36 \), ta có \( x^4 = -36 \). Tuy nhiên, nghiệm này không có nghiệm thực vì \( x^4 \) luôn không âm cho mọi \( x \) trong tập số thực.

5. **Kết luận**: Đa thức \( x^8 + 36x^4 = 0 \) có nghiệm duy nhất \( x = 0 \) trong tập số thực.

Về mặt phân tích, ta có:
\[
x^8 + 36x^4 = x^4(x^4 + 36)
\]
Vậy ta có thể viết trở lại là:
\[
x^4(x^4 + 36) = 0
\]
Trong đó \( x^4 + 36 \) không có nghiệm thực.