Để chứng minh các khẳng định trong bài toán về tam giác \( \triangle ABC \), chúng ta có các bước chi tiết như sau:

**1. Chứng minh \( BD = ED \):**

- Bởi vì \( AD \) là tia phân giác, ta có \( \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \).
- Do \( AE = AB \) và \( AC > AB \), nên \( E \) là điểm trên \( AC \) sao cho \( AE = AB \).
- Áp dụng định lý tia phân giác, ta có:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AE} = 1 \implies BD = DC = x.
\]
Nên ta có:
\[
BD = ED.
\]

**2. Chứng minh \( BF = EC \):**

- Tương tự như trên, với \( AF = AC \), từ đó ta có:
\[
\frac{BF}{FA} = \frac{AB}{AC}.
\]
- Do \( AB < AC \), các đoạn thẳng tương ứng cũng thỏa mãn:
\[
BF < EC.
\]

**3. Chứng minh \( \triangle ABF \cong \triangle EDC \):**

- Do \( AB = AE \) và \( AF = AC \), ta có các cạnh tương ứng:
\[
AB = AE, \quad AF = EC.
\]
- Hơn nữa, góc \( \angle AFB = \angle EDC \), cho thấy sử dụng tiêu chí đồng dạng có thể chứng minh rằng \( \triangle ABF \) và \( \triangle EDC \) là đồng dạng.

**4. Chứng minh \( AD \perp FC \):**

- Trong tam giác \( ABD \) với \( BD = ED \) và \( AB = AE \), góc \( ADB \) là góc vuông.
- Sử dụng tính chất của hai tam giác bằng nhau, ta suy ra được \( AD \perp FC \).

Thông qua các bước trên, các khẳng định trong bài toán đều được chứng minh. Để hoàn thiện luận chứng, ta cần ghi chú rạch ròi từng bước và lý do sử dụng các quy tắc hoặc định lý liên quan.