Tính M = 1 - 2/5.10 - 2/10.15 - 2/15.20 -...- 2/2015.2020

Hãy tính giá trị của \( M = 1 - \left( \sum_{n=1}^{403} \frac{2}{n(n+5)} \right) \).

Chúng ta sẽ xử lý từng phần trong tổng. Biểu thức \( \frac{2}{n(n+5)} \) có thể được phân tích thành phân thức riêng.

Áp dụng phân thức riêng, ta có:

\[
\frac{2}{n(n+5)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+5}
\]

Giải phương trình:

\[
2 = A(n + 5) + Bn
\]

Khi \( n = 0 \):

\[
2 = 5A \implies A = \frac{2}{5}
\]

Khi \( n = -5 \):

\[
2 = -5B \implies B = -\frac{2}{5}
\]

Do đó,

\[
\frac{2}{n(n+5)} = \frac{2/5}{n} - \frac{2/5}{n+5}
\]

Vì vậy, tổng \( S = \sum_{n=1}^{403} \frac{2}{n(n+5)} \) trở thành:

\[
S = \sum_{n=1}^{403} \left( \frac{2/5}{n} - \frac{2/5}{n+5} \right)
\]

Và khi viết đầy đủ, ta có:

\[
S = \frac{2}{5} \left( \sum_{n=1}^{403} \frac{1}{n} - \sum_{n=6}^{408} \frac{1}{n} \right)
\]

Chúng ta nhận thấy rằng các phần tử giữa các tổng chồng lên nhau. Kết quả là:

\[
\sum_{n=1}^{403} \frac{1}{n} - \sum_{n=6}^{408} \frac{1}{n} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}
\]

Và do đó:

\[
S = \frac{2}{5} \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} \right)
\]

Tính tổng trên:

\[
1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{60 + 30 + 20 + 15 + 12}{60} = \frac{137}{60}
\]

Bây giờ tính \( S \):

\[
S = \frac{2}{5} \cdot \frac{137}{60} = \frac{274}{300} = \frac{137}{150}
\]

Cuối cùng, tính giá trị của \( M \):

\[
M = 1 - S = 1 - \frac{137}{150} = \frac{150 - 137}{150} = \frac{13}{150}
\]

Vậy nên, giá trị \( M \) là:

\[
\boxed{\frac{13}{150}}
\]