Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = 4a^2 + 125b^2 \) với ràng buộc \( a - 5b = 1 \), trước tiên chúng ta sẽ thế biến \( a \) từ phương trình ràng buộc.

Từ phương trình \( a - 5b = 1 \), chúng ta có thể biểu diễn \( a \) theo \( b \):
\[
a = 5b + 1.
\]

Sau đó, chúng ta thay \( a \) vào biểu thức \( A \):
\[
A = 4(5b + 1)^2 + 125b^2.
\]

Tính toán \( (5b + 1)^2 \):
\[
(5b + 1)^2 = 25b^2 + 10b + 1.
\]
Vậy
\[
A = 4(25b^2 + 10b + 1) + 125b^2 = 100b^2 + 40b + 4 + 125b^2 = 225b^2 + 40b + 4.
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức bậc 2 \( A = 225b^2 + 40b + 4 \). Biểu thức này là một hàm bậc 2 với hệ số \( a = 225 > 0 \), do đó nó có giá trị nhỏ nhất tại đỉnh của parabol.

Công thức tìm tọa độ đỉnh của parabol là:
\[
b_{min} = -\frac{B}{2A} = -\frac{40}{2 \cdot 225} = -\frac{40}{450} = -\frac{4}{45}.
\]

Giờ chúng ta thay giá trị \( b_{min} \) vào trong biểu thức \( A \):
\[
A = 225\left(-\frac{4}{45}\right)^2 + 40\left(-\frac{4}{45}\right) + 4.
\]
Tính toán từng phần:
- \( \left(-\frac{4}{45}\right)^2 = \frac{16}{2025} \),
- \( 225 \cdot \frac{16}{2025} = \frac{3600}{2025} = \frac{16}{9} \),
- \( 40 \cdot -\frac{4}{45} = -\frac{160}{45} = -\frac{32}{9} \).

Kết hợp tất cả lại:
\[
A = \frac{16}{9} - \frac{32}{9} + 4 = \frac{16 - 32 + 36}{9} = \frac{20}{9}.
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) là:
\[
\boxed{\frac{20}{9}}.
\]