Cho hình thang cân ABCD (AB // CD). Vẽ đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh:HEBC là hình bình hành

Để chứng minh rằng tứ giác HEBC là hình bình hành, ta sẽ chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác HEBC song song với nhau.

**Bước 1: Tính chất của các đoạn thẳng**

- Bởi vì ABCD là hình thang cân với AB // CD, ta có các tính chất sau:
- AH là đường cao, tức là AH ⊥ BD.

- E là trung điểm của AD và F là trung điểm của BC, nên ta có:
- \( AE = ED \) (1)
- \( BF = FC \) (2)

**Bước 2: Sử dụng hình chiếu và tính chất trung điểm**

Trong hình thang cân, hai đoạn thẳng đi từ trung điểm của một cặp cạnh bên đến cạnh đối diện sẽ song song với nhau và bằng nhau.

- Ta sẽ chứng minh rằng \( HE \parallel BF \) và \( HC \parallel EB \).

**Chứng minh \( HE \parallel BF \)**:
- Trong tam giác AHD, hai đoạn AE và ED có cùng độ dài. Do đó, đoạn thẳng HE sẽ đi qua điểm trung bình của hai cạnh AD và AB.
- Bởi AH là đường cao, nên \( AH \) ⊥ \( AB \) và \( AH \) ⊥ \( CD \), dẫn đến \( HE \) sẽ song song với BF (vì BF cũng sẽ song song với AB, và AB // CD).

**Chứng minh \( HC \parallel EB \)**:
- Tương tự, nếu ta xét tam giác BHC, đoạn BC cũng cân với cùng độ dài, mà F là trung điểm của BC, nên đoạn HC sẽ tương tự như BF là song song với EB (do EB là đoạn nối giữa hai trung điểm của hai cạnh đối).

**Bước 3: Kết luận**

Với hai cặp cạnh HE, BF và HC, EB đều song song với nhau, ta đến kết luận rằng tứ giác HEBC là hình bình hành vì hai cặp cạnh đối diện đều song song với nhau:

- Do đó, tứ giác HEBC chính là tứ giác bốn cạnh song song đối diện, tức là HEBC là hình bình hành.

Chúng ta đã hoàn thành chứng minh.