Cho hình bình hành ABCD và O là giao điểm của 2 đường chéo đó. Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt AB, BC lần lượt là M và N

Để chứng minh rằng ba điểm \(M\), \(N\) và \(Y\) thẳng hàng trong hình bình hành \(ABCD\) như đã mô tả, chúng ta có thể sử dụng các tính chất của hình học trong tam giác và hình bình hành.

**Bước 1: Xác định các điểm và các đoạn thẳng**

- Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\).
- \(M\) là giao điểm của đường thẳng qua \(C\) song song với \(AB\) với \(AB\).
- \(N\) là giao điểm của đường thẳng qua \(C\) song song với \(AB\) với \(BC\).
- \(P\) và \(Q\) là những điểm nằm trên các đoạn thẳng \(AB\) và \(CD\) sao cho \(AP = CQ\).

**Bước 2: Sử dụng tính chất hình bình hành**

Hình bình hành có những tính chất rất đặc biệt:
- Các cạnh đối diện song song và bằng nhau.
- Các đường chéo bisect nhau tại trung điểm.

Vì \(M\) là điểm trên đoạn thẳng \(AB\) với đường thẳng \(CM\) song song với \(AB\), ta có:
\[ CM \parallel AB \]

Tương tự, vì \(N\) là điểm trên đoạn thẳng \(BC\) với đường thẳng \(CN\) song song với \(AB\), ta có:
\[ CN \parallel AB \]

**Bước 3: Áp dụng định lý về vị trí của các điểm**

Do \(CM\) song song với \(AB\) và \(CN\) cũng song song với \(AB\), ta có thể sử dụng định lý về sự đồng quy của các đường thẳng song song.

Bây giờ, để chứng minh \(M\), \(N\), và \(Y\) thẳng hàng, ta xem xét tam giác \(APC\) và \(CQD\):
- Điểm \(Y\) là giao điểm của \(AC\) và \(BQ\).

Với \(AP = CQ\), ta có:
- Tỷ lệ giữa các đoạn: \(\frac{AP}{CQ} = 1\).

Sử dụng định lý Thales, từ đó suy ra các đoạn:
\[
\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}
\]
Vì \(M\) và \(N\) đều nằm trên đường thẳng song song với \(AB\) nên có thể thấy \(M\), \(N\), và \(Y\) sẽ có tỉ lệ thuận, tức là các điểm này thẳng hàng.

**Kết luận:**
Do đó, chúng ta đã chứng minh rằng ba điểm \(M\), \(N\), và \(Y\) nằm thẳng hàng.