Để chứng minh rằng \( \angle BDA + \angle BDC - \angle DCA + \angle CAA = 180^\circ \), ta sử dụng tính chất của các góc tạo thành bởi hai đường thẳng song song và một đường cắt.

Hãy xem xét các góc:

1. **Góc \( \angle BDA \)** và **góc \( \angle DCA \)** hình thành từ đường thẳng song song \( a \) và \( b \) với tia \( Aa \) cắt chúng.
2. **Góc \( \angle BDC \)** và **góc \( \angle CAA \)** cũng được hình thành từ cùng một đường cắt \( Aa \) với hai đường thẳng song song.

Theo định lý góc đồng vị và góc bù nhau trong hình học Euclide:

- \( \angle BDA \) và \( \angle DCA \) là góc bù nhau (góc trong cùng phía) vì nằm giữa hai đường thẳng song song.
- Tương tự, \( \angle BDC \) và \( \angle CAA \) cũng là góc bù nhau.

Do đó, tổng của các góc \( \angle BDA + \angle BDC \) sẽ luôn là \( 180^\circ \):

\[
\angle BDA + \angle BDC = 180^\circ
\]

Vì vậy,

\[
\angle BDA + \angle BDC - \angle DCA + \angle CAA = 180^\circ
\]

Tóm lại, tính chất của các góc tại giao điểm của đường thẳng cắt nhau với các đường thẳng song song đảm bảo rằng tổng của các góc này luôn bằng \( 180^\circ \).