Để tìm số tự nhiên \( n \) sao cho biểu thức \( n^2 + 2n + 12 \) là một số chính phương, ta đặt biểu thức đó bằng \( m^2 \) cho một số nguyên \( m \).

Ta có phương trình:
\[
n^2 + 2n + 12 = m^2
\]

Chuyển đổi phương trình thành một dạng đầy đủ hơn:
\[
n^2 + 2n + (12 - m^2) = 0
\]

Để phương trình bậc hai này có nghiệm \( n \) là số tự nhiên, thì delta (không âm) phải lớn hơn hoặc bằng 0. Delta được tính như sau:
\[
\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (12 - m^2) = 4 - 48 + 4m^2 = 4m^2 - 44
\]

Để \( \Delta \geq 0 \), ta có:
\[
4m^2 - 44 \geq 0
\]
\[
4m^2 \geq 44
\]
\[
m^2 \geq 11
\]
\[
m \geq \sqrt{11} \approx 3.32
\]
Vì \( m \) là một số nguyên nên \( m \geq 4 \).

Ta xét các gia trị của \( m \) từ 4 trở đi:
1. **Với \( m = 4 \)**:
\[
n^2 + 2n + 12 = 16 \implies n^2 + 2n - 4 = 0
\]
Tính delta:
\[
\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20 \quad (\text{có nghiệm})
\]
Nghiệm:
\[
n = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}
\]
Không có nghiệm tự nhiên.

2. **Với \( m = 5 \)**:
\[
n^2 + 2n + 12 = 25 \implies n^2 + 2n - 13 = 0
\]
Tính delta:
\[
\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13) = 4 + 52 = 56 \quad (\text{có nghiệm})
\]
Nghiệm:
\[
n = \frac{-2 \pm \sqrt{56}}{2} = -1 \pm \sqrt{14}
\]
Không có nghiệm tự nhiên.

3. **Với \( m = 6 \)**:
\[
n^2 + 2n + 12 = 36 \implies n^2 + 2n - 24 = 0
\]
Tính delta:
\[
\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100 \quad (\text{có nghiệm})
\]
Nghiệm:
\[
n = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{2} = -1 \pm 5
\]
Ta có 2 nghiệm: \( n = 4 \) và \( n = -6 \) (loại).

4. **Với \( m = 7 \)**:
\[
n^2 + 2n + 12 = 49 \implies n^2 + 2n - 37 = 0
\]
Tính delta:
\[
\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-37) = 4 + 148 = 152 \quad (\text{có nghiệm})
\]
Nghiệm:
\[
n = \frac{-2 \pm \sqrt{152}}{2} = -1 \pm \sqrt{38}
\]
Không có nghiệm tự nhiên.

5. **Với \( m = 8 \)**:
\[
n^2 + 2n + 12 = 64 \implies n^2 + 2n - 52 = 0
\]
Tính delta:
\[
\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-52) = 4 + 208 = 212 \quad (\text{có nghiệm})
\]
Nghiệm:
\[
n = \frac{-2 \pm \sqrt{212}}{2} = -1 \pm \sqrt{53}
\]
Không có nghiệm tự nhiên.

Sau khi kiểm tra các giá trị cho \( m \) từ 4 đến 8 cho thấy \( n = 4 \) là nghiệm duy nhất.

Vậy \( n \) thỏa mãn yêu cầu là \( n = 4 \).