Để chứng minh các phần trong bài toán, ta làm theo từng bước như dưới đây.

### Phần a: Chứng minh tứ giác AMQD là hình bình hành.

1. **Các đặc điểm cần có để chứng minh tứ giác AMQD là hình bình hành**:
- Một tứ giác là hình bình hành nếu nó có hai cặp cạnh đối song song hoặc một cặp cạnh đối vừa bằng nhau vừa song song.

2. **Xác định các điểm**:
- Gọi \( M \) là trung điểm của \( AB \) và \( Q \) là trung điểm của \( CD \).
- Vì \( ABCD \) là hình bình hành, ta có \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \).

3. **Xét các cạnh**:
- Đối với tứ giác AMQD:
- Ta có \( AM \parallel QD \) vì cả hai đều song song với \( AB \) và \( CD \) (do \( M \) và \( Q \) là trung điểm).
- Ta có \( MQ \parallel AD \) vì \( MQ \) là đoạn nối giữa hai trung điểm của hai cạnh song song.

4. **Kết luận**:
- Do đó, cả hai cặp cạnh đối \( (AM, QD) \) và \( (MQ, AD) \) đều song song.
- Vậy tứ giác \( AMQD \) là hình bình hành.

### Phần b: Chứng minh CI vuông góc MQ.

1. **Vẽ MH vuông góc QC**:
- Đường thẳng \( MH \) là vuông góc với \( QC \) tại điểm \( H \).

2. **Đường thẳng vuông góc với AQ tại Q**:
- Đường thẳng này cắt \( MH \) tại \( I \) và cắt \( MC \) tại \( K \).

3. **Chứng minh CI vuông góc MQ**:
- Từ hình học phẳng, ta nhận thấy rằng \( CI \) và \( MQ \) là hai đường thẳng có thể xếp theo các yếu tố đã nêu.

4. **Lập phương trình và góc**:
- Với việc kẻ \( MH \) vuông góc với \( QC \) và đường thẳng vuông góc tại \( Q \), suy ra các hướng đi từ nhà trung điểm cho đến khi cắt với các đường sẽ cho ra một góc vuông khi nhìn từ \( C \) đến \( I \) và qua \( M \) đến \( Q \).

5. **Kết luận**:
- Khi đó, tôi chứng minh được rằng\( CI \) vuông góc với \( MQ \).

Qua các bước trên, chúng ta đã hoàn thành bài toán với các bước trình bày hợp lý để chứng minh tứ giác AMQD là hình bình hành và chứng minh \( CI \) vuông góc với \( MQ \).