Để giải hai bất phương trình trên, ta thực hiện từng bước như sau:

### a) Giải bất phương trình:
\[
\frac{2x-1}{3} < \frac{x+6}{2}
\]

1. **Nhân chéo**:
\[
2(2x - 1) < 3(x + 6)
\]

2. **Mở ngoặc**:
\[
4x - 2 < 3x + 18
\]

3. **Chuyển các số hạng chứa \(x\) về một bên**:
\[
4x - 3x < 18 + 2
\]
\[
x < 20
\]

### Kết quả phần a):
\[
x < 20
\]

---

### b) Giải bất phương trình:
\[
\frac{5(x-1)}{6} - 1 \geq \frac{2(x+1)}{3}
\]

1. **Chuyển 1 sang bên phải**:
\[
\frac{5(x-1)}{6} \geq \frac{2(x+1)}{3} + 1
\]

2. **Đưa 1 về cùng mẫu số**:
\[
\frac{2(x+1)}{3} + 1 = \frac{2(x+1)}{3} + \frac{3}{3} = \frac{2x + 2 + 3}{3} = \frac{2x + 5}{3}
\]
Vậy bất phương trình trở thành:
\[
\frac{5(x-1)}{6} \geq \frac{2x+5}{3}
\]

3. **Nhân chéo**:
\[
5(x - 1) \cdot 3 \geq 2(x + 5) \cdot 6
\]
\[
15(x - 1) \geq 12(x + 5)
\]

4. **Mở ngoặc**:
\[
15x - 15 \geq 12x + 60
\]

5. **Chuyển về một bên**:
\[
15x - 12x \geq 60 + 15
\]
\[
3x \geq 75
\]

6. **Chia cả hai vế cho 3**:
\[
x \geq 25
\]

### Kết quả phần b):
\[
x \geq 25
\]

---

### Tóm tắt kết quả:
- a) \(x < 20\)
- b) \(x \geq 25\)