Cho tứ giác ABCD có O là giao điểm 2 đường chéo và diện tích tam giác AOB = 4, diện tích tam giác COD = 9. Tìm GTNN diện tích tứ giác ABCD?

1. Để tìm diện tích tứ giác ABCD, ta sử dụng công thức tổng diện tích của các tam giác tạo bởi giao điểm O của hai đường chéo AC và BD:

\[
S_{ABCD} = S_{AOB} + S_{COD} + S_{AOD} + S_{BOC}
\]

Trong đó, diện tích của các tam giác AOB, BOC, COD, AOD phụ thuộc vào tỷ lệ hầu hết cùng với diện tích của các tam giác BOD và AOC. Theo định lý về hình thang trong tứ giác, tổng diện tích của hai tam giác đối diện bằng tổng diện tích của hai tam giác còn lại.

Ta có:
- \(S_{AOB} = 4\)
- \(S_{COD} = 9\)

Vì hai tam giác AOB và COD không liên hệ trực tiếp với các tam giác còn lại, ta có thể xét theo tỉ lệ.

Ta biết rằng diện tích tổng cộng của tứ giác ABCD sẽ là bằng tổng diện tích của hai tam giác AOB và COD, cộng với hai tam giác còn lại. Ta không thể tìm được diện tích tối thiểu, nhưng có thể tìm được rằng:

\[
S_{ABCD} = S_{AOB} + S_{COD} \quad (có thể tiện lợi trong việc tìm ra diện tích nhỏ nhất)
\]

Từ đây ta có thể kết luận rằng:

\[
S_{ABCD} \geq S_{AOB} + S_{COD} = 4 + 9 = 13
\]

Vậy diện tích tối thiểu của tứ giác ABCD là \(\boxed{13}\).

2. Để tính thể tích của hình lăng trụ đứng có đáy là lục giác đều và đường cao và cạnh đáy bằng nhau và bằng \(2\sqrt{3} \text{ cm}\), ta cần tính diện tích đáy và sau đó nhân với chiều cao.

Đầu tiên, diện tích của lục giác đều với cạnh là \(a\) được tính bằng công thức:

\[
S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2
\]

Với \(a = 2\sqrt{3} \text{ cm}\):

\[
S = \frac{3\sqrt{3}}{2} (2\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4 \cdot 3 = \frac{36\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3} \text{ cm}^2
\]

Thể tích \(V\) của hình lăng trụ được tính bằng công thức:

\[
V = S \cdot h
\]

Với chiều cao \(h = 2\sqrt{3} \text{ cm}\):

\[
V = 18\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 36 \cdot 3 = 108 \text{ cm}^3
\]

Vậy thể tích của hình lăng trụ đó là \(\boxed{108 \text{ cm}^3}\).

3. Đối với tam giác ABC vuông tại A với AC = 6 cm, ta cần tìm các số nguyên dương cho độ dài các cạnh còn lại là AB và BC sao cho hợp với định lý Pytago:

\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]
\[
AB^2 + 6^2 = BC^2 \implies AB^2 + 36 = BC^2 \implies BC^2 - AB^2 = 36
\]

Ta có thể viết lại thành:

\[
(BC - AB)(BC + AB) = 36
\]

Bây giờ, xét các cặp số hiệp số liên quan đến 36:

- \(1 \cdot 36\)
- \(2 \cdot 18\)
- \(3 \cdot 12\)
- \(4 \cdot 9\)
- \(6 \cdot 6\)

Giải cho mỗi cặp hiệp số này:

1. \(BC - AB = 1\), \(BC + AB = 36\)
- \(BC = \frac{37}{2}\) không phải số nguyên.

2. \(BC - AB = 2\), \(BC + AB = 18\)
- \(BC = 10\), \(AB = 8\) hợp lệ.

3. \(BC - AB = 3\), \(BC + AB = 12\)
- \(BC = 6.5\) không phải số nguyên.

4. \(BC - AB = 4\), \(BC + AB = 9\)
- \(BC = 6.5\) không phải số nguyên.

5. \(BC - AB = 6\), \(BC + AB = 6\)
- \(BC = 6\), \(AB = 0\) không hợp lệ.

Từ đó, ta chỉ có một trường hợp hợp lệ là \(AB = 8\) cm và \(BC = 10\) cm.

Diện tích \(S\) của tam giác ABC được tính bằng công thức:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24 \text{ cm}^2
\]

Vậy diện tích tam giác ABC là \(\boxed{24 \text{ cm}^2}\).