Cho hình vuông ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên đường thẳng BC lấy điểm E bất kỳ, trên tia đối của CD lấy điểm F sao cho CE = CF. Chứng minh DE = BF

Để chứng minh \( DE = BF \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Xác định các điểm**:
- \( O \) là giao điểm của hai đường chéo \( AC \) và \( BD \).
- Điểm \( E \) nằm trên đường thẳng \( BC \).
- Điểm \( F \) là điểm đối xứng của \( E \) qua đường thẳng \( CD \).

2. **Sử dụng tính chất đối xứng**:
- Vì \( F \) là điểm đối xứng của \( E \) qua đường thẳng \( CD \), nên khoảng cách từ \( C \) đến \( E \) bằng khoảng cách từ \( C \) đến \( F \):
\[
CE = CF
\]

3. **Sử dụng định lý hình thang** (hoặc tính chất hình chữ nhật):
- Ta biết rằng tứ giác \( ABCD \) là hình vuông, do đó các cạnh \( AB, BC, CD, DA \) đều bằng nhau và các góc đều bằng \( 90^\circ \).
- Do đó, \( O \) là điểm trung tâm của hình vuông.

4. **Đo các đoạn thẳng**:
- Xét tam giác \( CEF \) là tam giác đối xứng qua \( CD \), ta có tính chất \( DE \perp BC \) và \( BF \perp CD \).
- Do đó, \( DE = BF \) vì chúng đều là chiều cao từ điểm trên đường thẳng \( BC \) xuống đường thẳng \( CD \).

5. **Kết luận**:
- Vì \( DE \) và \( BF \) đều đối xứng qua đường thẳng \( CD \) và có độ dài bằng nhau khi lấy điểm \( E \) bất kỳ trên \( BC \), ta rút ra rằng:
\[
DE = BF
\]

Vậy đã chứng minh xong \( DE = BF \).