Cho tam giác abc vuông tại a (ab

Để giải bài toán này, ta cần phân tích các yếu tố hình học của tam giác vuông ABC và các điểm liên quan.

### a. Chứng minh \( AEHF \) là hình chữ nhật

1. **Tính chất của hình chiếu**: Vì H là chân đường cao từ A xuống BC, nên điểm E là hình chiếu vuông góc của H trên AB và điểm F là hình chiếu vuông góc của H trên AC.

2. **Góc vuông**: Do E và F là hình chiếu vuông góc, nên góc AHE = 90 độ và góc AHF = 90 độ.

3. **Tính chất hình chữ nhật**: Để AEHF là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng các cạnh AE và HF cùng song song với nhau, và AB và EF cùng song song với nhau, đồng thời AE và HF là đường chéo của hình chữ nhật.

4. **Xét các cạnh**:
- AE vuông góc với AB và HF vuông góc với AC => AE // HF.
- Bởi vì AB // AC trong tam giác vuông, và E nằm trên AB, F nằm trên AC, cho nên EF // AB.

5. **Kết luận**: Do đó, AEHF là hình chữ nhật vì có hai cặp cạnh đối diện song song và đều vuông góc.

### b. Chứng minh \( AEHF \) là hình bình hành

1. **Định nghĩa hình bình hành**: Hình bình hành là hình có hai cặp cạnh đối diện song song.

2. **Các cạnh song song**:
- Từ chứng minh trước đó, ta đã chứng minh rằng AE // HF và AB // EF.

3. **Kết luận**: Do đó, tứ giác AEHF là hình bình hành vì có hai cặp cạnh đối diện song song với nhau.

### c. Chứng minh \( AM \) vuông góc với \( EF \)

1. **Xác định M**: M là trung điểm của BC, do đó AM chính là đường trung tuyến.

2. **Hình chiếu vuông góc**: Điểm H là chân đường cao từ A đến BC, theo định nghĩa, H tạo góc vuông với BC.

3. **Tính chất của hình vuông**: EF là đoạn thẳng nối hai điểm hình chiếu E và F của H trên AB và AC trong tam giác vuông.

4. **Góc vuông**: Nhận thấy rằng H nằm trực tiếp dưới A trên đoạn thẳng BC đảm bảo rằng AM sẽ vuông góc với EF vì H tạo ra góc vuông tại chân đường cao và tính đồng quy giữa các đường trung tuyến trong tam giác vuông.

5. **Kết luận**: Từ lý do trên, ta có thể khẳng định rằng AM vuông góc với EF.

### Tóm tắt

- \( AEHF \) là hình chữ nhật.
- \( AEHF \) là hình bình hành.
- \( AM \) vuông góc với \( EF \).