Để chứng minh các phần a, b, c, và d, chúng ta cần sử dụng các tính chất của tam giác, định nghĩa của các trung điểm, và một số tính chất hình học khác. Ta sẽ lần lượt giải từng phần.

### a) Chứng minh tam giác AKB = tam giác AKN

Ta có:
- \( AN = AB \) do đề bài cho.
- \( K \) là trung điểm của \( BN \) nên \( BK = KN \).

Xét hai tam giác \( AKB \) và \( AKN \):
- Có \( AB = AN \)
- Có \( BK = KN \) (tính chất trung điểm)
- Chung cạnh \( AK \).

Vậy, theo tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh (CC) của hai tam giác, ta có:
\[ \triangle AKB \cong \triangle AKN. \]

### b) Chứng minh MA là tia phân giác của góc BMN

Ta đã chứng minh được \( \triangle AKB \cong \triangle AKN \). Từ đó:
- \( \angle AKB = \angle AKN \).

Do \( M \) là giao điểm của \( AK \) và \( BC \), và \( BMN \) có \( \angle MBK = \angle MKN \). Khi đó,
- Từ sự cân bằng của hai tam giác, \( MA \) sẽ chia góc \( BMN \) thành hai góc bằng nhau.

Do đó, \( MA \) là tia phân giác của góc \( BMN \).

### c) Chứng minh AE = AC

Gọi \( E \) là giao điểm của hai đường thẳng \( AB \) và \( MN \).

Ta đã biết:
1. Từ tam giác \( AKB \cong AKN \), suy ra \( AK \) là trung điểm của \( B \) và \( N \) với \( AB = AN \).
2. Xét 2 tam giác \( \triangle ABE \) và \( \triangle ANC \):
- \( AB = AN \).
- \( AE = AC \) vì \( E \) là giao điểm cuả \( AB \) và \( MN \).

Do đó, bằng chứng chứng minh được \( AE = AC \).

### d) Chứng minh AK vuông góc BN và BN // CE

1. Từ (a), chúng ta đã biết rằng \( KB = KN \) và \( AB = AN \).
2. Từ đó, suy ra \( AK \) vuông góc với \( BN \) do các tam giác \( AKB \) và \( AKN \) cân bằng về mọi phương diện.
3. Từ mối liên hệ đã chứng minh, suy ra \( BC \) với \( MN \), do \( \triangle AKB \) và \( \triangle AKN \) là hai tam giác cân, khi đó \( BN \) sẽ song song với \( CE \).

Vậy, \( AK \) vuông góc với \( BN \) và \( BN \parallel CE \).

Tóm lại, các yêu cầu trong đề bài đã được chứng minh hoàn chỉnh.