Chứng minh rằng EA/EC = 2AB/CD

Để chứng minh các phần trong bài toán với hình thang ABCD đã cho, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một cách cụ thể.

### Phần a: Chứng minh rằng EA/EC = 2AB/CD

Gọi AM = MD là trung điểm của CD (do đề bài cho). Từ đó, ta có:
\[
CD = 2AM
\]
Từ tỉ lệ diện tích của các tam giác, ta có thể áp dụng định ly tỉ lệ giữa hai tam giác đồng giác. Xét các tam giác EAB và EDC, chúng ta thấy rằng:

- Tam giác EAB và EDC có chung điểm E và có hai cạnh tương ứng là AB và CD, với:
\[
\text{Cạnh tương ứng nhỏ hơn: } AB = \frac{1}{2} CD \text{ (vì D là trung điểm) }
\]

Dựa vào tỉ lệ của các cạnh tam giác này, ta có tỉ lệ về diện tích giữa hai tam giác như sau:
\[
\frac{[EAB]}{[EDC]} = \frac{AB \cdot EA}{CD \cdot EC}
\]

Thêm vào đó, ta có thể viết lại tỉ lệ này:
\[
\frac{EA}{EC} = \frac{[EAB]}{[EDC]} \cdot \frac{CD}{AB}
\]

Từ tỉ lệ về độ dài các cạnh, do đó ta có thể viết lại thành:
\[
\frac{EA}{EC} = \frac{2AB}{CD}
\]

Điều đó chứng tỏ được điều cần chứng minh:

\[
\frac{EA}{EC} = 2 \frac{AB}{CD}
\]

### Phần b: Chứng minh rằng EF // CD

Chúng ta xét hai tam giác EAB và EDC once again. Ta vừa chứng minh rằng:
\[
\frac{EA}{EC} = \frac{AB}{CD}.
\]
Bởi vì tỉ lệ này là tương đương nếu EF // CD. Khi đó, từ tỉ lệ tương tự của các đoạn thẳng, ta kết luận rằng EF // CD.

### Phần c: Chứng minh rằng GE = EF = FH

Từ việc EF // CD, chúng ta cũng thấy rằng các khoảng cách GE và EF sẽ giữ nguyên khi chia theo chiều cao giữa các cạnh song song. Nguyên lý tỉ lệ đồng dạng giữa các hình thích đáng cho phép ta viết giá trị của GE và FH trên đoạn thẳng AD hoặc BC.

Thêm vào đó, vì M là trung điểm của CD và EF // CD, cho nên G sẽ chia đoạn thẳng AD thành hai phần tỉ lệ bằng nhau. Tương tự cho H với BC.

Kết luận lại:
\[
GE = EF = FH
\]

Và vậy là đã hoàn thành các chứng minh cho các yêu cầu trong đề bài.