Để rút gọn và tính giá trị của biểu thức \( A = (x + y)^2 + (x - y)^2 - 2(x + y)(y - x) \) với \( x = -\frac{1}{3} \) và \( y = -2 \), ta làm như sau:

Bước 1: Tính các thành phần.

1. Tính \( x + y \):
\[
x + y = -\frac{1}{3} - 2 = -\frac{1}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{7}{3}
\]

2. Tính \( x - y \):
\[
x - y = -\frac{1}{3} + 2 = -\frac{1}{3} + \frac{6}{3} = \frac{5}{3}
\]

Bước 2: Tính \( (x + y)^2 \) và \( (x - y)^2 \):
- Tính \( (x + y)^2 \):
\[
(x + y)^2 = \left(-\frac{7}{3}\right)^2 = \frac{49}{9}
\]
- Tính \( (x - y)^2 \):
\[
(x - y)^2 = \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9}
\]

Bước 3: Tính \( (x + y)(y - x) \):
- Tính \( y - x \):
\[
y - x = -2 + \frac{1}{3} = -\frac{6}{3} + \frac{1}{3} = -\frac{5}{3}
\]
- Tính \( (x + y)(y - x) \):
\[
(x + y)(y - x) = \left(-\frac{7}{3}\right)\left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{35}{9}
\]

Bước 4: Thay tất cả vào biểu thức \( A \):
\[
A = (x + y)^2 + (x - y)^2 - 2(x + y)(y - x)
\]
\[
A = \frac{49}{9} + \frac{25}{9} - 2 \cdot \frac{35}{9}
\]

Bước 5: Tính từng phần:
- Tính \( \frac{49}{9} + \frac{25}{9} \):
\[
\frac{49 + 25}{9} = \frac{74}{9}
\]
- Tính \( 2 \cdot \frac{35}{9} = \frac{70}{9} \).

Bước 6: Tính \( A \):
\[
A = \frac{74}{9} - \frac{70}{9} = \frac{4}{9}
\]

**Kết luận:**
Giá trị của biểu thức \( A \) là \( \frac{4}{9} \).