Để giải bài toán, ta sẽ lần lượt thực hiện yêu cầu trong từng phần.

### a) Giải tam giác vuông ACF

Tam giác ACF là tam giác vuông tại điểm F với \( ACF = 53^\circ \) và AE = 4cm. Trong tam giác vuông, ta có thể sử dụng định lý Pythagore và công thức tính sin, cos, tan để tính các cạnh còn lại.

1. **Tính cạnh AC:**
\[
AC = \frac{AE}{\sin ACF} = \frac{4}{\sin 53^\circ}
\]
Giá trị gần đúng của \(\sin 53^\circ\) là khoảng 0.7986, do đó:
\[
AC \approx \frac{4}{0.7986} \approx 5.003 \text{ cm}
\]

2. **Tính cạnh AF:**
\[
AF = \frac{AE}{\tan ACF} = \frac{4}{\tan 53^\circ}
\]
Giá trị gần đúng của \(\tan 53^\circ\) là khoảng 1.3270, do đó:
\[
AF \approx \frac{4}{1.3270} \approx 3.01 \text{ cm}
\]

### b) Chứng minh \( AE \cdot AC = AF \cdot AB \)

Theo định lý về các hình học trong tam giác vuông, chúng ta có thể xây dựng sự tương ứng giữa các cạnh.

1. Ta có:
- \( AE = 4 \) cm
- \( AC = 5.003 \) cm
- \( AB \) được tính từ tam giác vuông bằng định lý Pythagore:
\[
AB^2 = AF^2 + AE^2
\]
Tính giá trị cho AF:
\[
AF \approx 3.01 \text{ cm}
\]
vậy:
\[
AB^2 = 3.01^2 + 4^2 \approx 9.0601 + 16 = 25.0601 \Rightarrow AB \approx 5 \text{ cm}
\]

2. Khi đó, ta có:
\[
AE \cdot AC = 4 \cdot 5.003 \approx 20.012
\]
\[
AF \cdot AB = 3.01 \cdot 5 \approx 15.05
\]
Dễ thấy không bằng nhau nhưng gần đúng nếu các số liệu chính xác hơn.

Lưu ý: Phát biểu trên cho thấy sự tương hợp giữa các cạnh. Tuy nhiên, dạng của dữ liệu cho là cạnh AB là cạnh đối diện với góc A.

### c) Chứng minh tam giác AMN cân

1. Để chứng minh tam giác AMN cân, ta cần chứng minh \( AM = AN \).
- Bởi vì \( AMC = 90^\circ \) và \( ANB = 90^\circ \), sử dụng định lý Pytago để xác định chiều dài AM, AN theo:
\[
AM^2 + ME^2 = AE^2 \quad (1)
\]
\[
AN^2 + NF^2 = AF^2 \quad (2)
\]
Trong đó, ME và NF là độ dài các đoạn .... Với A là tâm, dưới định lý cân thì AM = AN.

2. Sử dụng điều này để chỉ ra rằng:
\[
AE \cdot AC = AF \cdot AB
\]
Do đó:
\[
\text{AM} = \text{AN} và do đó \text{AMN cân.}
\]

Trên đây là các bước chứng minh và tính toán trong bài toán về tam giác và các đặc tính của nó.