Để giải bài toán này, ta thực hiện từng yêu cầu một:

### a) Tứ giác AMCN là hình gì? Chứng minh?

Tứ giác AMCN là hình thang.

**Chứng minh**:
- AM là đường trung tuyến của tam giác ABC, do đó \( AM \parallel BC \) và \( AM = \frac{1}{2}BC \).
- D là trung điểm của AC nên \( AD = DC \).
- N nằm trên tia DM sao cho D là trung điểm của MN, nghĩa là \( DN = DM \).

Từ những điều trên, ta có \( AM \parallel NC \) và hai cặp cạnh đối diện là bằng nhau, nên AMNC là hình thang.

### b) Chứng minh tứ giác ABMN là hình bình hành.

**Chứng minh**:
- Dựa vào điểm D là trung điểm của AC và DN = DM.
- Tứ giác ABMN có hai cặp cạnh đối diện:
- AB = MN (vì điểm M và N được xác định sao cho D là trung điểm),
- AM = BN (vì AM là trung tuyến và BM = CN).

Vì có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau, nên tứ giác ABMN là hình bình hành.

### c) Gọi E là trung điểm của AB. Lấy P đối xứng với M qua E. Chứng minh: P, A, N thẳng hàng.

**Chứng minh**:
- E là trung điểm của AB, tức là \( AE = EB \).
- Theo định nghĩa đối xứng, P là điểm đối xứng của M qua E, nghĩa là \( AE = EP \).
- Do tứ giác AMBN là hình bình hành, suy ra \( AM = BN \).

Từ đây, điểm P sẽ nằm trên đường thẳng kéo dài từ A qua N, do đó P, A, N thẳng hàng.

Kết luận các phần của bài toán như trên.