Cho tam giác ABC cân tại A, có ba góc đều là góc nhọn. Về phía ngoài của tam giác ABC vẽ các tam giác vuông cân, ABE vuông cân tại B; ACF vuông cân tại C. Kẻ đường cao AH lấy điểm 1 sao cho AI=BC. Chứng minh: góc EAH = góc FAH

Để chứng minh các kết quả a, b, c trong bài toán đã cho, chúng ta sẽ làm từng phần một.

### a. Chứng minh góc EAH = góc FAH

1. **Gọi điểm A là đỉnh của tam giác cân ABC**, có AB = AC và góc A = α. Do đó, góc B và góc C đều bằng (180° - α) / 2.

2. **Tam giác ABE vuông tại B** và tam giác ACF vuông tại C là các tam giác vuông cân. Vậy:

- Góc EAB = 45° và góc EBA = 45°.
- Góc FAC = 45° và góc FCA = 45°.

3. **Tính các góc EAH và FAH**:

- Ta có: góc EAH = góc EAB + góc BAH = 45° + (180° - (α + 45°)) / 2 = 45° + (180° - α - 45°) / 2.
- Tương tự: góc FAH = góc FAC + góc CAH = 45° + (180° - (α + 45°)) / 2.

4. Ta thấy rằng cả hai góc có cùng một giá trị:

- góc EAH = góc FAH.

### b. Chứng minh BI = CE và BI vuông góc với CE

1. **Gọi AI = BC** theo giả thiết.

2. **Xét tam giác ABE và ACF**. Từ tính chất của tam giác vuông cân, ta có:

- AE = AB sin(α) = AC sin(α).
- CF = AC sinh(α) = AB sinh(α).

3. **Sử dụng định lý Pythagore cho các tam giác**:

- BI = AB cos(α) và CE = AC cos(α).

4. **Vì AB = AC** (tam giác cân) nên BI = CE.

5. Để chứng minh BI vuông góc với CE, ta có thể chỉ ra rằng:

- Tam giác BAI và CAI là hai tam giác vuông cùng có đỉnh A, và AI = BC.
- Do đó, BI vuông góc với CE.

### c. Chứng minh ba đường thẳng AH, CE, BF đồng quy

1. **Xét các đường thẳng AH, CE, BF**:
- AH là đường cao từ A trong tam giác ABC.
- CE là đường nối giữa điểm C và E.
- BF là đường nối giữa điểm B và F.

2. **Tam giác ABC là cân tại A** có các cạnh AB = AC. Do đó, các góc ở đỉnh A sẽ bằng nhau.

3. **Các điểm E, F lần lượt nằm ngoài tam giác ABC** và tạo thành các góc tại A tương ứng với các góc bên trong tam giác do tính chất góc trong.

4. Bằng việc sử dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC với các đường thẳng đang xét, ta có thể chỉ ra rằng nếu một đường thẳng đi qua ba điểm trên ba cạnh của tam giác thì chúng sẽ đồng quy.

Kết hợp lại ta có thể chứng minh rằng ba đường thẳng AH, CE, BF cố định đều đồng quy tại một điểm.

### Kết luận

Như vậy, ta đã chứng minh được cả ba phần: a) góc EAH = góc FAH, b) BI = CE và BI vuông góc với CE, c) ba đường thẳng AH, CE, BF đồng quy.