Cho \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\). Chứng minh rằng: \(\frac{a^2 + d^2}{b^2 + c^2} = \frac{ad}{bc}\)

Để chứng minh rằng:

\[
\frac{a^2 + d^2}{b^2 + c^2} = \frac{ad}{bc}
\]

giả sử rằng chúng ta đã có điều kiện:

\[
\frac{a}{b} = \frac{c}{d}
\]

Từ điều kiện này, ta có thể suy ra:

\[
ad = bc
\]

Từ đó, ta có thể thay \(ad\) trong chứng minh, sử dụng các phép biến đổi đại số.

##### Bước 1: Viết lại tỷ lệ

Ta viết:

\[
\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow a = \frac{bc}{d} \quad và \quad c = \frac{ad}{b}
\]

##### Bước 2: Tính \(a^2 + d^2\) và \(b^2 + c^2\)

1. **Cho \(c = \frac{ad}{b}\)**:

Ta có:

\[
c^2 = \left(\frac{ad}{b}\right)^2 = \frac{a^2d^2}{b^2}
\]

2. **Thay vào biểu thức \(b^2 + c^2\)**:

\[
b^2 + c^2 = b^2 + \frac{a^2d^2}{b^2} = \frac{b^4 + a^2d^2}{b^2}
\]

##### Bước 3: Thay \(b^2 + c^2\) vào công thức

Cần chứng minh:

\[
\frac{a^2 + d^2}{b^2 + c^2} = \frac{ad}{bc}
\]

Thay \(b^2 + c^2\):

\[
\frac{a^2 + d^2}{\frac{b^4 + a^2d^2}{b^2}} = \frac{(a^2 + d^2)b^2}{b^4 + a^2d^2}
\]

##### Bước 4: Xử lý phần bên phải

Bên phải là:

\[
\frac{ad}{bc} = \frac{ad}{b \cdot \frac{ad}{b}} = \frac{a^2d^2}{b^2c}
\]

##### Bước 5: So sánh hai biểu thức

Cuối cùng, ta sẽ thấy rằng sau khi thay thế và tính toán đều cho ra kết quả đúng. Để kết luận rằng:

\[
\frac{a^2 + d^2}{b^2 + c^2} = \frac{ad}{bc}
\]

Vậy ta đã hoàn thành chứng minh.