Để giải bài toán, ta sẽ lần lượt thực hiện các yêu cầu:

**a)** Chứng minh \( \angle BAH = \angle MAC \).

Ta có tam giác vuông \( ABC \) với \( A \) là đỉnh vuông. Đường cao \( AH \) vuông góc với \( BC \) tại điểm \( H \). Ta cần chứng minh rằng \( \angle BAH \) và \( \angle MAC \) là hai góc tương đương.

- \( AH \) là đường cao nên \( \triangle ABH \sim \triangle ACM \) (góc vuông).
- Do đó, \( \angle BAH = \angle MAC \).

**b)** Chứng minh \( MD = MA \) và \( AD \) là phân giác của \( \angle MAH \) và \( \angle CAB \).

- Vì \( D \) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \( BC \), nên \( DB = DC \).
- Theo tính chất của trung tuyến, ta có \( MD = MA \).
- Gọi \( AD \) là phân giác của \( \angle MAH \). Từ đó, \( \triangle ABH \sim \triangle DCA \) cho nên \( AD \) là phân giác của \( \angle MAH \) và \( \angle CAB \).

**c)** Từ \( D \) kẻ \( DE \) vuông góc với \( AB \) (với \( E \) thuộc \( AB \)); kẻ \( DF \) vuông góc với \( AC \) (với \( F \) thuộc \( AC \)). Tứ giác \( AEDF \) là hình gì? Vì sao?

Tứ giác \( AEDF \) có \( DE \) và \( DF \) là các đoạn vuông góc. Điều này có nghĩa là tất cả bốn góc của tứ giác đều bằng 90 độ. Do đó, tứ giác \( AEDF \) là hình chữ nhật.

**d)** Chứng minh \( \triangle ADB = \triangle ADF \).

Để chứng minh hai tam giác \( ADB \) và \( ADF \ bằng nhau, ta có thể áp dụng tiêu chuẩn về cạnh và góc:

1. \( AD \) là cạnh chung.
2. \( \angle ADB = \angle ADF = 90^\circ \).
3. \( AB = AF \) (nếu \( AB \) và \( AC \) đều bằng nhau từ tính chất của tứ giác).

Vì vậy, theo tiêu chuẩn cạnh - góc - cạnh (CGC), hai tam giác này bằng nhau.