Cho P = x^4 + x^3 - x^2 + ax + b; Q = x^2 + x - 2. Xác định a; b sao cho P chia hết Q

Để xác định các giá trị của \( a \) và \( b \) sao cho đa thức \( P(x) = x^4 + x^3 - x^2 + ax + b \) chia hết cho \( Q(x) = x^2 + x - 2 \), chúng ta cần đảm bảo rằng \( P(x) \) có \( Q(x) \) là một yếu tố.

Đầu tiên, chúng ta tìm nghiệm của \( Q(x) \) bằng cách giải phương trình bậc hai:

\[
Q(x) = 0 \implies x^2 + x - 2 = 0
\]

Phương trình này có thể được phân tích như sau:

\[
(x - 1)(x + 2) = 0
\]

Vậy nghiệm của nó là \( x = 1 \) và \( x = -2 \).

Để \( P(x) \) chia hết cho \( Q(x) \), \( P(1) \) và \( P(-2) \) phải bằng 0.

**Tính \( P(1) \)**:

\[
P(1) = 1^4 + 1^3 - 1^2 + a \cdot 1 + b = 1 + 1 - 1 + a + b = 1 + a + b
\]

Để \( P(1) = 0 \), ta có:

\[
1 + a + b = 0 \implies a + b = -1 \quad (1)
\]

**Tính \( P(-2) \)**:

\[
P(-2) = (-2)^4 + (-2)^3 - (-2)^2 + a(-2) + b = 16 - 8 - 4 - 2a + b
\]

Tính toán cho rõ:

\[
P(-2) = 16 - 8 - 4 - 2a + b = 4 - 2a + b
\]

Để \( P(-2) = 0 \), ta có:

\[
4 - 2a + b = 0 \implies b - 2a = -4 \quad (2)
\]

Bây giờ, chúng ta có hai phương trình:

1. \( a + b = -1 \)
2. \( b - 2a = -4 \)

Từ phương trình (1), ta có \( b = -1 - a \). Thay vào phương trình (2):

\[
(-1 - a) - 2a = -4 \implies -1 - 3a = -4
\]
\[
-3a = -4 + 1 \implies -3a = -3 \implies a = 1
\]

Thay giá trị của \( a \) vào phương trình (1):

\[
1 + b = -1 \implies b = -2
\]

Vậy, các giá trị là:

\[
\boxed{a = 1}, \quad \boxed{b = -2}
\]