Rút gọn các biểu thức sau: \( A = \frac{x \sqrt{y} + y \sqrt{x}}{x + 2 \sqrt{xy} + y} \) ( \( x \geq 0; y \geq 0; xy \neq 0 \) )

Để rút gọn biểu thức \( A = \frac{x \sqrt{y} + y \sqrt{x}}{x + 2 \sqrt{xy} + y} \), ta có thể nhận thấy mẫu số là một dạng bình phương.

Chúng ta có thể viết lại mẫu số:

\[
x + 2 \sqrt{xy} + y = (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2
\]

Bây giờ, ta viết lại biểu thức \( A \):

\[
A = \frac{x \sqrt{y} + y \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2}
\]

Bước tiếp theo là biến đổi tử số:

\[
x \sqrt{y} + y \sqrt{x} = \sqrt{xy} (\sqrt{x} + \sqrt{y})
\]

Vậy, ta có thể thay thế vào \( A \):

\[
A = \frac{\sqrt{xy} (\sqrt{x} + \sqrt{y})}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2}
\]

Nếu \(\sqrt{x} + \sqrt{y} \neq 0\) (điều này đúng vì \(x, y \geq 0\) và \(xy \neq 0\)), ta có thể rút gọn:

\[
A = \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}
\]

Vậy kết quả rút gọn là:

\[
A = \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}
\]