Trong các dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau dãy số nào là dãy số giảm?

Để xác định dãy số nào là dãy số giảm trong các dãy số \( u_n \) cho bởi số hạng tổng quát \( u_n \), chúng ta cần kiểm tra xem \( u_n \) có giảm hay không, tức là kiểm tra điều kiện \( u_n > u_{n+1} \) cho mọi \( n \).

### A. \( u_n = \frac{1}{n+2} \)

Tính \( u_{n+1} \):
\[
u_{n+1} = \frac{1}{(n+1) + 2} = \frac{1}{n + 3}
\]

So sánh \( u_n \) và \( u_{n+1} \):
\[
u_n - u_{n+1} = \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3}
\]
Để so sánh, quy đồng mẫu:
\[
= \frac{(n+3) - (n+2)}{(n+2)(n+3)} = \frac{1}{(n+2)(n+3)}
\]
Vì \( n \geq 1 \) nên \( (n+2)(n+3) > 0 \), do đó \( u_n > u_{n+1} \).
Dãy \( u_n \) là giảm.

### B. \( u_n = \frac{5n + 31}{3n + 1} \)

Tính \( u_{n+1} \):
\[
u_{n+1} = \frac{5(n+1) + 31}{3(n+1) + 1} = \frac{5n + 5 + 31}{3n + 3 + 1} = \frac{5n + 36}{3n + 4}
\]

So sánh \( u_n \) và \( u_{n+1} \):
\[
u_n - u_{n+1} = \frac{5n + 31}{3n + 1} - \frac{5n + 36}{3n + 4}
\]
Quy đồng mẫu đưa đến công thức phức tạp, nhưng có thể kiểm tra sự giảm của dãy này tại các giá trị cụ thể. Tuy nhiên, bạn có thể nhận thấy rằng với \( n \to \infty \), tỉ số sẽ tiến tới \( \frac{5}{3} \), cho nên dãy không giảm liên tục từ đầu đến cuối.

### C. \( u_n = (n+2)^2 \)

Tính \( u_{n+1} \):
\[
u_{n+1} = (n+1 + 2)^2 = (n + 3)^2
\]

So sánh \( u_n \) và \( u_{n+1} \):
\[
u_{n+1} - u_n = (n + 3)^2 - (n + 2)^2
\]
Sử dụng công thức hạng tử:
\[
= (n + 3 - (n + 2))((n + 3) + (n + 2)) = (1)(2n + 5) = 2n + 5 > 0
\]
Dãy \( u_n \) là tăng.

### Kết luận:

- Dãy số A: \( u_n = \frac{1}{n+2} \) là dãy số giảm.
- Dãy số B: \( u_n = \frac{5n + 31}{3n + 1} \) không phải là dãy giảm liên tục.
- Dãy số C: \( u_n = (n+2)^2 \) là dãy số tăng.

Vậy chỉ có dãy số A là dãy số giảm.