Để tìm số giá trị nguyên của tham số \( m \) sao cho hàm số \( f(x) = x^2 + mx + 18 \) trên đoạn \([1, 3]\) có giá trị nhỏ nhất không lớn hơn 20, ta thực hiện các bước sau:

1. **Tính giá trị của hàm số tại các điểm biên**:
- Tính \( f(1) = 1^2 + m \cdot 1 + 18 = m + 19 \)
- Tính \( f(3) = 3^2 + m \cdot 3 + 18 = 9 + 3m + 18 = 3m + 27 \)

2. **Tìm giá trị nhỏ nhất** trong đoạn \([1, 3]\):
- Hệ số bậc 2 dương (hàm số mở theo hướng lên), nên giá trị nhỏ nhất nằm tại một trong hai đầu đoạn hoặc tại đỉnh.
- Đỉnh của hàm là \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{m}{2} \). Ta cần kiểm tra xem đỉnh có nằm trong đoạn \([1, 3]\) không.
- Giới hạn của \( x \) để đảm bảo đỉnh nằm trong đoạn là \( 1 \leq -\frac{m}{2} \leq 3 \), từ đó:
- \( -2 \leq m \leq -6 \)

3. **Kiểm tra các trường hợp**:
- Nếu \( -2 \leq m < -6 \), thì giá trị nhỏ nhất là \( f(1) = m + 19 \).
- Ngược lại, nếu \( -6 < m \leq -2 \), giá trị nhỏ nhất là tại đỉnh.

4. **Giá trị nhỏ nhất không lớn hơn 20**:
- Với trường hợp \( f(1) \): \( m + 19 \leq 20 \) dẫn đến \( m \leq 1 \).
- Với trường hợp đỉnh:
- Tính giá trị tại đỉnh:
- Khi \( m = -6 \): \( f(x) \) nhỏ nhất là \( f\left(-\frac{m}{2}\right) \) tại \( x = 3 \): \( 3m + 27 \leq 20 \)
- Giải bất phương trình: \( 3m \leq -7 \) hay \( m \leq -\frac{7}{3} \).

5. **Kết hợp các điều kiện**:
- Ta có hai bất phương trình: \( m \leq -\frac{7}{3} \) và \( m \leq 1 \)
- Lấy điều kiện nghiêm ngặt nhất \( m \leq -\frac{7}{3} \).

6. **Các giá trị nguyên thỏa mãn**:
- Tìm các giá trị nguyên của \( m \) trong khoảng \( (-\infty, -\frac{7}{3}) \): các giá trị là \( m = -2, -3, -4, -5, -6, -7, \ldots \).

Do đó, số lượng các giá trị nguyên của tham số \( m \) là **từ -2 trở đi** (vô hạn) tới \( -\infty \).

**Kết luận**: Hàm số có vô số giá trị nguyên của \( m \) sao cho giá trị nhỏ nhất không lớn hơn 20. Tuy nhiên, cần xác định trong một khoảng nào đó tùy vào yêu cầu.