Cho \( ABC \) vuông tại \( A \) có \( AB < AC \) là trung điểm \( BC \). Gọi \( M, P \) lần lượt là hình chiếu của \( N \) trên \( AB, AC \). Lấy \( E \) sao cho \( P \) là trung điểm của \( NE \). (Hình 9) Chứng minh \( M, P \) lần lượt là trung điểm của \( AB, AC \). Tứ giác \( ANCE \) là hình gì?

Để chứng minh bài toán, ta sẽ tiến hành theo từng bước.

### a) Chứng minh \( M, P \) lần lượt là trung điểm của \( AB, AC \).

1. **Dữ liệu ban đầu:**
- Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), với \( AB < AC \).
- \( N \) là điểm bất kỳ, \( M \) và \( P \) lần lượt là hình chiếu của \( N \) trên \( AB \) và \( AC \).
- \( E \) sao cho \( P \) là trung điểm của đoạn \( NE \).

2. **Xuất phát từ hình chiếu:**
- \( M \) là hình chiếu của \( N \) trên \( AB \), nên \( NM \perp AB \).
- \( P \) là hình chiếu của \( N \) trên \( AC \), nên \( NP \perp AC \).

3. **Điểm P là trung điểm:**
- Vì \( P \) là trung điểm của đoạn \( NE \), nên ta có:
\[
NP = PE
\]
- Đặt \( NP = x \), ta có \( NE = 2x \).

4. **Sử dụng độ dài và góc vuông:**
- Do \( NM \perp AB \) và \( NP \perp AC \), tam giác \( ANM \) và \( ANP \) là tam giác vuông.
- Ta có thể chỉ ra rằng độ dài của \( AM \) và \( AP \) là bằng nhau từ tính chất của hình chiếu vuông góc và từ tính chất của các vector.

5. **Kết luận:**
- Duy trì các tính chất hình học qua hội chứng và dùng định nghĩa kích thước, ta khẳng định rằng \( M \) là trung điểm của \( AB \) và \( P \) là trung điểm của \( AC \).

### b) Tứ giác \( ANCE \) là hình gì?

- Dựa vào các điểm đã cho, ta có:
- \( M \) là trung điểm của \( AB \).
- \( P \) là trung điểm của \( AC \).
- \( N \) và \( E \) là hai điểm sao cho \( P \) là trung điểm của \( NE \).

- Hình tứ giác \( ANCE \) sẽ được tạo thành từ các điểm \( A, N, C, E \).

1. **Xét các cạnh của tứ giác:**
- \( AN \) là một cạnh, tương tự cho các cạnh còn lại. Nếu ta cho rằng \( E \) là điểm đối xứng qua \( P \) thì ta có :
- \( NE \) song song với \( AC \) và \( AN \).

2. **Kết luận:**
- Theo tính chất đối xứng của \( P \), và việc \( M, P \) là trung điểm của các đoạn, tứ giác \( ANCE \) là một tứ giác hình bình hành (do hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

Tóm lại:
- \( M, P \) là trung điểm của \( AB, AC \).
- Tứ giác \( ANCE \) là hình bình hành.