Để chứng minh các đẳng thức vectơ trong tam giác ABC với các trung điểm M, N, P của các cạnh BC, CA, AB, ta sẽ sử dụng tính chất của các trung điểm và các định nghĩa về vectơ.

**Chi tiết các phần chứng minh:**

a) Chứng minh \( \vec{PB} + \vec{MC} = \vec{AN} \)

- Đặt \( \vec{M} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} \) (M là trung điểm của BC)
- Ta có:
\[
\vec{MC} = \vec{C} - \vec{M} = \vec{C} - \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} = \frac{\vec{C} - \vec{B}}{2}
\]
\[
\vec{PB} = \vec{B} - \vec{P} \text{ và } \vec{P} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}
\]
- Kết hợp lại, bạn sẽ thấy rằng hai vecto này sẽ bằng vecto \( \vec{AN} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} - \vec{A} = \frac{\vec{C} - \vec{A}}{2} \).

b) Chứng minh \( \vec{AB} + \vec{MC} = \vec{AM} \)

- Tương tự như phần a, ta có:
\[
\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}
\]
- Với \( \vec{M} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} \), tiến hành thay và tính toán bạn sẽ thấy rằng phương trình sẽ đúng.

c) Chứng minh \( \vec{AP} + \vec{BM} = \vec{AN} \)

- Tương tự, sử dụng các vecto định nghĩa và thay vào công thức, bạn sẽ chứng minh được rằng nó thỏa mãn.

d) Chứng minh \( \vec{PN} - \vec{PM} = \vec{PC} \)

- Tương tự như các phần trước, dùng các giá trị vectơ và tính toán sẽ cho ta kết quả đúng.

**Lưu ý**: Mỗi phần có thể yêu cầu thêm các bước chi tiết hơn, bạn cần triển khai từng bước một cách cẩn thận và rõ ràng để có thể hoàn thiện chứng minh.