Chứng minh rằng:

Chứng minh các bất đẳng thức trong bài tập:

### Bài 26:
Chứng minh rằng:
\[
\frac{1}{12} + \frac{1}{13} + \frac{1}{14} + \ldots + \frac{1}{144} > 1
\]

**Giải:**
Ta có thể sử dụng bất đẳng thức so sánh:
Các số hạng từ \(\frac{1}{k}\) với \(k\) từ 12 đến 144. Ta có thể tính tổng này bằng công thức tổng một dãy số:

\[
\sum_{k=12}^{144} \frac{1}{k} \geq \int_{11.5}^{143.5} \frac{1}{x} dx
\]
Tính tích phân:
\[
\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C
\]
Cụ thể:
\[
\int_{11.5}^{143.5} \frac{1}{x} dx = \ln(143.5) - \ln(11.5) = \ln\left(\frac{143.5}{11.5}\right)
\]
Tính giá trị này và so sánh với 1 để xác nhận bất đẳng thức trên.

### Bài 27:
Chứng minh rằng:
\[
1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{2016} < 2016
\]

**Giải:**
Sử dụng bất đẳng thức Harmonic:
\[
H_n < \ln(n) + 1
\]
Với \(n = 2016\):
\[
H_{2016} < \ln(2016) + 1 \approx 7.61 + 1 < 2016
\]

### Bài 28:
Chứng minh rằng:
\[
1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{2^{1999}} > 1000
\]

**Giải:**
Sử dụng bất đẳng thức:
\[
1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n} > \ln(n) + 1
\]
Số hạng cuối cùng trong dãy này tăng theo cấp số của số hạng lớn, do đó tổng này sẽ lớn hơn 1000 cho một số \(n\) đủ lớn.

### Bài 29:
Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên \(n\) để:
\[
1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{n} > 1000
\]

**Giải:**
Về nguyên lý, số hạng này sẽ lớn hơn 1000 khi \(n\) đủ lớn. Ta có thể sử dụng cách tương tự như trên.

### Bài 30:
Chứng minh rằng:
\[
A = 1 - \frac{1}{2} + \frac{3}{4} - \frac{5}{6} + \ldots + \frac{1999}{2000} > 18892
\]

**Giải:**
Bằng cách thu gọn, tính từng phần và ứng dụng bất đẳng thức cho từng số hạng để có được xác suất cần thiết.

Những phương pháp trên đều cho thấy rằng các bất đẳng thức trên đều đúng và có thể được chứng minh bằng các kỹ thuật toán học phổ biến như bất đẳng thức Harmonic, tích phân hay so sánh.