Giải phương trình tích: x^4 + 2x^3 + 2x^2 - 2x -3 = 0

Để giải phương trình bậc 4:

\[ x^4 + 2x^3 + 2x^2 - 2x - 3 = 0, \]

ta có thể sử dụng một số phương pháp như phân tích, thử nghiệm giá trị, hoặc sử dụng định lý bậc 4. Đầu tiên, ta thử tìm nghiệm bằng cách thử các giá trị nguyên.

Thử với \( x = 1 \):

\[
1^4 + 2(1^3) + 2(1^2) - 2(1) - 3 = 1 + 2 + 2 - 2 - 3 = 0.
\]

Vậy \( x = 1 \) là một nghiệm của phương trình. Tiếp theo, ta sẽ sử dụng định lý phân cực để phân tích đa thức này thành một tích của hai đa thức bậc thấp hơn.

Gọi \( P(x) = x^4 + 2x^3 + 2x^2 - 2x - 3 \). Giờ ta sẽ chia \( P(x) \) cho \( x - 1 \) bằng phương pháp chia đa thức hoặc bằng cách sử dụng phương trình \( P(x) = (x - 1)Q(x) \).

Sử dụng phép chia đa thức, ta tiến hành chia \( P(x) \) cho \( x - 1 \):

\[
P(x) = (x - 1)(x^3 + 3x^2 + 5x + 3).
\]

Vậy ta có:

\[
x^4 + 2x^3 + 2x^2 - 2x - 3 = (x - 1)(x^3 + 3x^2 + 5x + 3).
\]

Bây giờ, ta cần giải phương trình bậc 3:

\[
x^3 + 3x^2 + 5x + 3 = 0.
\]

Thử nghiệm các giá trị nguyên cho phương trình này (chẳng hạn là -1, -2, 0, 1, ...):

Thử với \( x = -1 \):

\[
(-1)^3 + 3(-1)^2 + 5(-1) + 3 = -1 + 3 - 5 + 3 = 0.
\]

Vậy \( x = -1 \) cũng là một nghiệm. Tiếp tục sử dụng phép chia đa thức để chia \( x^3 + 3x^2 + 5x + 3 \) cho \( x + 1 \):

Sau khi chia, ta có:

\[
x^3 + 3x^2 + 5x + 3 = (x + 1)(x^2 + 2x + 3).
\]

Bây giờ ta đối diện với phương trình:

\[
x^2 + 2x + 3 = 0.
\]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{2}}{2} = -1 \pm i\sqrt{2}.
\]

Tóm lại, phương trình đã cho có các nghiệm sau:

1. \( x = 1 \)
2. \( x = -1 \)
3. \( x = -1 + i\sqrt{2} \)
4. \( x = -1 - i\sqrt{2} \)

Vậy, nghiệm của phương trình \( x^4 + 2x^3 + 2x^2 - 2x - 3 = 0 \) là:

\[
x = 1, \quad x = -1, \quad x = -1 + i\sqrt{2}, \quad x = -1 - i\sqrt{2}.
\]