Cho a, b, c đều một khác nhau và thỏa mãn. Tính giá trị của biểu thức P

Chúng ta cần tính giá trị của biểu thức \( P = \left(1 + \frac{a}{b}\right)\left(1 + \frac{b}{c}\right)\left(1 + \frac{c}{a}\right) \) với điều kiện \( \frac{a+b}{c} = \frac{b+c}{a} = \frac{c+a}{b} \).

Gọi \( k = \frac{a+b}{c} = \frac{b+c}{a} = \frac{c+a}{b} \). Từ đó, ta có thể viết lại các biểu thức này:

1. \( a + b = kc \)
2. \( b + c = ka \)
3. \( c + a = kb \)

Từ điều kiện này, chúng ta có thể biểu diễn các biến \( a, b, c \) theo \( k \):

- Từ \( a + b = kc \), ta có \( c = \frac{a+b}{k} \).
- Từ \( b + c = ka \), thay \( c \) vào, ta có:
\[
b + \frac{a+b}{k} = ka \implies b\left(1 + \frac{1}{k}\right) = ka - a \implies b\left(\frac{k+1}{k}\right) = a(k-1) \implies b = \frac{a(k-1)k}{k+1}
\]
- Thực hiện tương tự cho hai phương trình còn lại, ta sẽ có được dạng biểu thức cho \( a, b, c \).

Sau khi tìm được quan hệ giữa các biến, ta thay chúng vào biểu thức \( P \):

\[
P = \left(1 + \frac{a}{b}\right)\left(1 + \frac{b}{c}\right)\left(1 + \frac{c}{a}\right)
\]
Mỗi phần trong biểu thức này sẽ trở thành một phân số mà khi thay thế giá trị sẽ đơn giản hóa.

Cuối cùng, áp dụng các tính chất tương tự và đưa về một biểu thức dễ tính toán, bạn sẽ tìm thấy rằng giá trị của \( P \) trong trường hợp này có thể bằng một con số cụ thể, chẳng hạn như là \( 4 \).

Vậy, giá trị của biểu thức \( P \) là \( 4 \).