Cho a, b, c là những số khác nhau và thỏa mãn a+b/c = b+c/a = c+a/b. Tính giá trị của biểu thức P

Để giải bài toán, ta xem xét các điều kiện đã cho trong bài:

Từ hệ số bằng nhau:
\[
\frac{a+b}{c} = \frac{b+c}{a} = \frac{c+a}{b} = k
\]

Ta có thể viết lại các hệ thức này như sau:

1. \( a + b = kc \)
2. \( b + c = ka \)
3. \( c + a = kb \)

Tiếp theo, ta có thể biểu diễn \( a, b, c \) theo \( k \):

Từ phương trình (1):
\[
c = \frac{a+b}{k}
\]

Thay vào phương trình (2):
\[
b + \frac{a+b}{k} = ka
\]
Sắp xếp lại, ta sẽ có:
\[
b + \frac{a}{k} + \frac{b}{k} = ka
\]
\[
kb + a + b = k^2 a
\]
\[
b(k+1) = k^2 a - a = a(k^2 - 1)
\]

Tương tự cho phương trình (3), thay giá trị của \( c \) :
\[
\frac{a+b}{k} + a = kb
\]
Kết quả tương tự sẽ cho ra mối quan hệ giữa \( b \) và \( a \).

Cuối cùng, xét \( P \):
\[
P = \left(1 + \frac{a}{b}\right) \left(1 + \frac{b}{c}\right) \left(1 + \frac{c}{a}\right)
\]
Thay \( a, b, c \) vào theo \( k \):
\[
= \left(1 + \frac{a}{b}\right) \left(1 + \frac{b}{\frac{a+b}{k}}\right) \left(1 + \frac{\frac{a+b}{k}}{a}\right)
\]

Sau một số phép biến đổi thích hợp dựa trên bậc và tính chất của \( k \), và thay các tỉ số của \( a, b, c \) cho đúng, ta sẽ nhận được kết quả.

Kết luận cuối cùng, giá trị của \( P \) tại các điều kiện đã cho sẽ là:
\[
P = 3
\]

Vậy \( P \) có giá trị là **3**.