Rút gọn các biểu thức sau: \( \sqrt{4-2\sqrt{3}} \)

Để rút gọn biểu thức \( \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} \), ta có thể viết lại biểu thức trong dấu căn dưới dạng bình phương của một biểu thức.

Chúng ta đặt \( a = \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} \).

Ta tìm số \( b \) sao cho:

\[
a^2 = 4 - 2\sqrt{3} = (x - y)^2
\]

Căn cứ vào công thức \( (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \), ta đặt \( x^2 + y^2 = 4 \) và \( 2xy = 2\sqrt{3} \).

Từ \( 2xy = 2\sqrt{3} \), ta có \( xy = \sqrt{3} \).

Với hệ phương trình:

1. \( x^2 + y^2 = 4 \)
2. \( xy = \sqrt{3} \)

Thay \( y = \frac{\sqrt{3}}{x} \) vào phương trình 1:

\[
x^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{x}\right)^2 = 4
\]
\[
x^2 + \frac{3}{x^2} = 4
\]

Giả sử \( t = x^2 \), ta có phương trình:

\[
t + \frac{3}{t} = 4
\]

Nhân hai bên với \( t \):

\[
t^2 - 4t + 3 = 0
\]

Giải phương trình bậc 2:

\[
(t - 1)(t - 3) = 0
\]

Vậy \( t = 1 \) hoặc \( t = 3 \), do đó \( x^2 = 1 \) hoặc \( x^2 = 3 \).

Nếu \( x^2 = 1 \), thì \( y^2 = 3 \) (và ngược lại).

Vì vậy, \( x = 1 \) và \( y = \sqrt{3} \), hoặc \( x = \sqrt{3} \) và \( y = 1 \).

Như vậy, ta có thể viết \( 4 - 2\sqrt{3} \) dưới dạng \( (1 - \sqrt{3})^2 \).

Do đó:

\[
\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = 1 - \sqrt{3}
\]

Vậy kết quả là:

\[
\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = 1 - \sqrt{3}
\]