Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện các yêu cầu:

### a) Tứ giác EAFH là hình gì? Vì sao?

Tứ giác EAFH được tạo thành từ các điểm E, A, F và H.

1. **Chứng minh tứ giác EAFH là hình chữ nhật**:
- **H là chân đường cao** từ H hạ xuống các cạnh AB và AC, tức là \( EH \perp AB \) và \( FH \perp AC \).
- **Chúng ta cũng có**: \( AE \perp AB \) và \( AF \perp AC \), do đó \( AE \) và \( AF \) đều tạo thành những góc vuông với các cạnh tương ứng của tam giác vuông ABC.

Từ đó suy ra:
- \( EH \) và \( HF \) cũng tạo thành các cạnh với điều kiện vuông góc cần thiết cho một hình chữ nhật.
- Vậy EAFH là hình chữ nhật.

### b) Qua A kẻ đường vuông góc với EF cắt BC ở I. Chứng minh I là trung điểm của BC.

Để chứng minh I là trung điểm của BC, ta tiến hành:

1. **Kẻ đường vuông góc từ A đến EF**: Gọi điểm này là I, tức là \( AI \perp EF \).

2. **Xét các tam giác**:
- Các tam giác \( ABE \) và \( ACF \) có cùng chiều cao từ A đến EF, và đáy lần lượt là EB và CF.
- Vì AE và AF đều vuông góc với các cạnh của tam giác vuông ABC, áp dụng định lý về tỉ số diện tích:
\[
\frac{[ABE]}{[ACF]} = \frac{AE}{AC} = \frac{AF}{AB}
\]
- Do đó, ta có:
\[
AB \cdot EI = AC \cdot FI
\]

3. **Kết luận**: Do đó, I chia BC thành hai đoạn IB và IC bằng nhau, tức là I là trung điểm của BC.

Vậy, I là trung điểm của BC như yêu cầu.