Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau

Để tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức trên, chúng ta sẽ sử dụng công thức đạo hàm để tìm điểm cực trị cho mỗi biểu thức bậc hai, vì tất cả các biểu thức này đều là bậc hai. Đối với biểu thức bậc hai có dạng \( ax^2 + bx + c \), nếu \( a < 0 \), nó sẽ có một cực đại. Cực đại xảy ra tại \( x = -\frac{b}{2a} \).

Tiến hành lần lượt cho từng biểu thức:

1. **A = 4x - x² + 1**
- Đây là biểu thức có dạng \( -x^2 + 4x + 1 \) với \( a = -1 \), \( b = 4 \).
- Tính \( x = -\frac{4}{2(-1)} = 2 \).
- Thay vào A để tính giá trị lớn nhất:
\[ A(2) = 4(2) - (2)^2 + 1 = 8 - 4 + 1 = 5. \]

2. **B = 3 - 4x - x²**
- Đây là biểu thức có dạng \( -x^2 - 4x + 3 \) với \( a = -1 \), \( b = -4 \).
- Tính \( x = -\frac{-4}{2(-1)} = -2 \).
- Thay vào B để tính giá trị lớn nhất:
\[ B(-2) = 3 - 4(-2) - (-2)^2 = 3 + 8 - 4 = 7. \]

3. **C = 8 - x² - 5x**
- Đây là biểu thức có dạng \( -x^2 - 5x + 8 \) với \( a = -1 \), \( b = -5 \).
- Tính \( x = -\frac{-5}{2(-1)} = \frac{5}{2} \).
- Thay vào C để tính giá trị lớn nhất:
\[ C\left(\frac{5}{2}\right) = 8 - \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 5\left(\frac{5}{2}\right) = 8 - \frac{25}{4} - \frac{25}{2} = 8 - \frac{25}{4} - \frac{50}{4} = 8 - \frac{75}{4} = \frac{32}{4} - \frac{75}{4} = -\frac{43}{4}. \]

4. **D = -4 - x² + 6x**
- Đây là biểu thức có dạng \( -x^2 + 6x - 4 \) với \( a = -1 \), \( b = 6 \).
- Tính \( x = -\frac{6}{2(-1)} = 3 \).
- Thay vào D để tính giá trị lớn nhất:
\[ D(3) = -4 - (3)^2 + 6(3) = -4 - 9 + 18 = 5. \]

5. **E = -10 - x² - 6x**
- Đây là biểu thức có dạng \( -x^2 - 6x - 10 \) với \( a = -1 \), \( b = -6 \).
- Tính \( x = -\frac{-6}{2(-1)} = 3 \).
- Thay vào E để tính giá trị lớn nhất:
\[ E(3) = -10 - (3)^2 - 6(3) = -10 - 9 - 18 = -37. \]

6. **F = -x² + 13x + 1**
- Đây là biểu thức có dạng \( -x^2 + 13x + 1 \) với \( a = -1 \), \( b = 13 \).
- Tính \( x = -\frac{13}{2(-1)} = \frac{13}{2} \).
- Thay vào F để tính giá trị lớn nhất:
\[ F\left(\frac{13}{2}\right) = -\left(\frac{13}{2}\right)^2 + 13\left(\frac{13}{2}\right) + 1 = -\frac{169}{4} + \frac{169}{2} + 1 = -\frac{169}{4} + \frac{338}{4} + \frac{4}{4} = \frac{173}{4}. \]

7. **G = -7 - 4x² + 8x**
- Đây là biểu thức có dạng \( -4x^2 + 8x - 7 \) với \( a = -4 \), \( b = 8 \).
- Tính \( x = -\frac{8}{2(-4)} = 1 \).
- Thay vào G để tính giá trị lớn nhất:
\[ G(1) = -7 - 4(1)^2 + 8(1) = -7 - 4 + 8 = -3. \]

8. **H = -4x² - 12x**
- Đây là biểu thức có dạng \( -4x^2 - 12x \) với \( a = -4 \), \( b = -12 \).
- Tính \( x = -\frac{-12}{2(-4)} = 1.5 \).
- Thay vào H để tính giá trị lớn nhất:
\[ H(1.5) = -4(1.5)^2 - 12(1.5) = -4(2.25) - 18 = -9 - 18 = -27. \]

**Tóm lại:**
- Giá trị lớn nhất của A: 5
- Giá trị lớn nhất của B: 7
- Giá trị lớn nhất của C: -10.75
- Giá trị lớn nhất của D: 5
- Giá trị lớn nhất của E: -37
- Giá trị lớn nhất của F: 43.25
- Giá trị lớn nhất của G: -3
- Giá trị lớn nhất của H: -27

Các giá trị lớn nhất là:
1. \( A: 5 \)
2. \( B: 7 \)
3. \( C: -10.75 \)
4. \( D: 5 \)
5. \( E: -37 \)
6. \( F: 43.25 \)
7. \( G: -3 \)
8. \( H: -27 \)

Giá trị lớn nhất tổng cộng là \( F: 43.25 \).